北师大版高考数学(文)大一轮复习---第八章 8.5--(附答案)

跟踪训练 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.

(1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM；

BN

的值；BB1

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时如果不存在，请说明理由．

(1)证明 连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.

实用文档

25

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM平面A1BM，B1C?平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

(2)证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC，∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC＝A，AA1，AC平面ACC1A1，

∴BM⊥平面ACC1A1，

∴BM⊥AC1.

∵AC＝2，∴AM＝1.

又∵AA1＝2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，

∴∠AC1C＝∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M＝M，BM，A1M平面A1BM，

实用文档

26

∴AC1⊥平面A1BM.

(3)解 当点N为BBBN1的中点，即

BB1＝1

2

时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

证明如下：

设AC1的中点为D，连接DM，DN.∵D，M分别为AC1，AC的中点，∴DM∥CC＝1

1，且DM2

CC1.

又∵N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面AA1C1C.

实用文档 27

又∵DN平面AC1N，

∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.

立体几何证明问题中的转化思想

典例 (12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

求证：(1)AN∥平面A1MK；

实用文档 28