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题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )

(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编

2．下列命题中错误的是( )

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

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D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D

解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．

3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案 (1)外 (2)垂

解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.

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∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，

又AB平面PAB，∴PC⊥AB，

∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，

即O为△ABC的垂心．

题组三 易错自纠

4．(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ) A．α⊥β且m

α

B．α⊥β且m∥α

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C．m∥n且n⊥β 答案 C

D．m⊥n且α∥β

解析 由线面垂直的判定定理，可知C正确．

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )

A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直 答案 A

解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，

又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1，

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