减少解析几何计算量的十种方法

现在设P?cos?,sin??,Q??25?sin??,sin????2????????0,?.那么

?2?d?P,Q??515. 5?sin??cos??5?sin?????.当且仅当sin?????=1时，所求最小值为222y8. 解法1.（数形结合）设圆C垂直于直线l:x?y?0的切线为x=-y+m，代入 圆的方程：??y?m??y?222??2?1?2y?2m?42y?m?7?0

2??l:x-y=02PC222令??0?4m?162m?32?8m?7?0?m?42m?6?0.

??QOx解得：m?2,32. 取m?32,直线方程为x?y?32,令x=y,得Q?3?3?2,2?, 2?2?8题解图1

则所求投影的最大值为OQ?99??3，选A. 22y解法2.（平面几何给力）过圆心C0,22作直线

??PCl:x-y=0l:x?y?0的平行线，设与圆的上交点为P，PM⊥l于M，

又作ON⊥直线CP于N,

NQOMx?CP?1,CN?OC?sin45??22?故所求投影的最大值为OM?NP?3

2?2, 28题解图2

9.（数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线 x-2y+1=0的切线，设其方程为x?2y?m?0.则圆心M（0，-2）

yA(0,2)x-2y+1=0C(1,1)x-2y+m=0x到此直线的距离d?m?45?2,?m??4?10.取m??4?10，

B(-1,0)OM(0,-2)则切线方程为x?2y?4?10?0.

所求PQ 的最小值为?4?10?15?5?2 9题解图

10.设双曲线右焦点为F（c,0），取渐近线l:y?bx，∵FM⊥l于M,∴直线FM的方程为： a13

b?y?x?baa?ay???x?c?由??x??x?c??0

bb?y??a?x?c?a?b??cacabaabx?,?x?，从而y???,得 abbcacc222yMOF(c,0)x?a2ab?M?,?.代入椭圆方程： ?cc?22a42aba?2?b?2?a2b2?a4?b4?b2?a2?b2??a?b.则双曲线的离心率为2 cc211.（减少参数）双曲线的渐近线为y??x，直线的一般方程为y?1?x ay?y?1?x?y?1?xxxa??由?由???1?x, ??1?x,?x?;x?xBaa1?ay??y???aa???xA??aa2a,由条件知A为BC中点，???. 1?a1?a1?aBC(0,1)Ox?a?0,?1?a?2?1?a??0?a?3.于是

c?10,离心率e?10.选B. 311题解图

【评注】只求x，不求y，省力的典范.

12.（回归定义）当PF2与圆x2?y2?b2切于点G时，有OG?b,但OF2?c,?GF2?a.于是

c2222a?PF1?PF2?2b?2a.知b?2a??OGF2?90?,?OG?GF2?OF2?5a2?c2?e??5.

a

yyPy

PbaGaF2xQ(5,0)F1(-4,0)OF2(4,0)x

F1ODCc

AθOBx

12题解图

13题解图

14

14题解图

13.（取特值，回归定义）不妨令c=4，则点的横坐标为5.如图有F1??4,0?,F2?4,0?.则PF2?F1F2?8. 作PQ⊥x轴于Q,有Q(5,0).且PQ?8?1?2263，PF2?63?92?12.

?a?11cPF2?PF1???12?8??2,离心率e??2 ?22a14.（回归定义，三角法）连AC,BD. 不妨设AD?1,则AB?2,CD?2?2cos? . 由余弦定理：

AC?BD?5?4cos?.

对于双曲线, ?a1?11DB?DA???22?5?4cos??1,c1?1,?e1??2.

5?4cos??1???????0,?,∴当?增大时，e1减小.

?2?对于椭圆,a2?11DA?CA???22?5?4cos??1,c2??2?1?cos??1CD?1?cos?,?e2?., 25?4cos??1e1?e2?2?1?cos??5?4cos??1?4?1?cos??2??1,故为定值.

5?4cos??14?1?cos??15.解法1（三角代换）如15题截图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2,ON=1. 设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

y 于是△OAB的周长

L??2?cot????1?2tan????csc??2sec??

?3?1?cos?2?1?sin???sin?cos?2cos2?3?2sinN 1 O B 2 ?2?2cos?2????2?cos?sin?

22???cos22α P(2,1) 1 α 2 M A x ?2?sin2?215题解图1

?????????2?cos?sin?2?cos?sin?2sin???22?222? ?3?cot???3?cot??????22cos?sincos?sin2222?5?cot?2???4? ?6??cot?1?????2??cot?1cos?sin222215

4sin?

????????????0,?,???0,?.cot?1?0,于是L?6?24?10，故选B.

2?2?2?4?????【说明】进一步研究：当且仅当cot?1?，即?cot?1??4?cot?3时等式成立.

?22?2?cot?124此时tan???23410351002525.于是OA?2??，满足OA+AB+OB=10. ,OB?1?2??,AB???43342946解法2.（平几给力）首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径. 如图，设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q（a,a）

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a. 由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则PQ?QH?a.令PQ?a,即

B P(2,1) H O M 15题解图2A x N y Q(a,a) ?a?2???a?1?

22?a?a?6a?5?0.

2?a?1（舍），或a?5.于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

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