03 第三节 全微分及其应用

第三节 全微分及其应用

内容分布图示

★ 偏增量与全增量 ★ 可微的必要条件

★ 全微分的定义 ★ 可微的充分条件

★ 例4 ★ 例5 ★ 例7

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 多元函数连续、可导、可微的关系. ★ 全微分在近似计算中的应用 ★ 绝对误差与相对误差 ★ 内容小结 ★ 习题8—3 ★ 返回

★ 例6 ★ 课堂练习

内容要点：

一、 全增量与偏增量

二、 全微分的定义

三、函数可微的必要条件与充分条件

定理1 (必要条件) 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微分, 则该函数在点(x,y)的?z?z必存在, 且z?f(x,y)在点(x,y)处的全微分 ,?x?y?z?x?z?y偏导数

dz??x??y. (3.4)

定理2 (充分条件) 如果函数z?f(x,y)的偏导数该点处可微分.

四、利用全微分进行近似计算

?z?dz

?z?z在点(x,y)处连续, 则函数在,?x?y f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y (3.7)

例题选讲：

例1（讲义例1）求函数z?4xy3?5x2y6的全微分. 例2（讲义例2）计算函数z?e在点(2, 1)处的全微分. 例3 求函数 u?x?siny2?eyzxy的全微分.

z例4（讲义例3）求函数u?xy的偏导数和全微分.

例5（讲义例4）计算(1.04)2.02的近似值.

例6（讲义例5）测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm，且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.

例7 利用摆摆动测定重力加速度g的公式是g?T4?lT22. 现测得单摆摆长l与振动周期

分别为l?100?0.1cm、T?2?0.004s. 问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相

对误差各为多少?

课堂练习

?x2y,?421.讨论函数z??x?y??0,1x?y?0x?y?02222在点(0, 0)处函数的全微分是否存在?

2.设f(x,y,z)???

?x?z?,求df(1,1,1). ??y?