武大数学建模培训：多目标决策模型：层次分析法AHP代数模型离散

解释：一致矩阵即：n件物体M1, M2, ?,Mn，它们重量分别为W1, W2 , ?,Wn，将他们

?W1????W2?两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量W??右乘A，则 ?????W??n??A的特征根为n,??W1??????W?：重量向量　W＝?2?，则归一化后的特征向量?以n为特征根的特征向量为?????W??：? ?n???W???1??W＝?????Wi＝1?，就表示诸因素C1，C2，?，Cn对上层因素O的权重，即为?????W??权向量，此种用特征向量求权向量的方法 称特征根法，?分析：

?W1????W2?若重量向量W??未知时，则可由决策者对物体M1, M2, ?,Mn之间两两相比关系，

?????W??n?主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使A矩阵（不一定有一致性）为已

知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵范围内，再依据：

A，并且此A（不一致）在不一致的容许

A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素aij，即当aij离一致性的

要求不太远时，A的特征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根?和特征向量W也相差不大的道理：由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。 问题：Remark

以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路，在理论上应解决以下问题：

1． 一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n（即必要条件），但用特征根来求特征向量时，

应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵

A的最大特征根?max?n时，A是否为一致阵？

2． 用主观判断矩阵

A的特征根?和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根?和特征向量W??

时，即：由lim?kk?k得到：limWkk???W

即：

limAk?A

k??是否在理论上有依据。

3．一般情况下，主观判断矩阵A在逼近于一致阵有A*?A的过程中，用与A接近的A*来代替A，即

A，这种近似的替代一致性矩阵A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检

验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。

以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。第3个问题：Satty给出一致性指标（Th1,Th2介绍如下：） 附：

Th1：（教材P326，perronTh比隆 1970 ）对于正矩阵A（A的所有元素为正数） （1）A的最大特征根是正单根?；

（2）?对应正特征向量W（W的所有分量为正数）

?1???kAe?1?（3）limTk?W 其中：e???为半径向量，W是对应?的归一化特征向量

k??eAe????1???A化为标准形证明

Th2：n阶正互反阵A的最大特征根??n；

当??n时，A是一致阵

五、一致性检验——一致性指标：

1．一致性检验指标的定义和确定——C?I的定义：

证明：（3）可以通过将

当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A，一般不可直接保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵

A，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致

特征值和特征向量之间的误差(???)及W－W。此时就导致问题

????AW＝?maxW与问题

AW?nW之间的差别。（上述问题中?max是主观判断矩阵A的特征值，W是带有偏差的相对权

向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。

因此，为了避免误差太大，就要给出衡量主观判断矩阵A的一致性的判别准则。 因为：

①当主观判断矩阵A为一致阵

A时就有：

nn??＝??kk?1n?1nnk??akk??1?nA为一致阵时有：aii?1

k?1k?1此时存在唯一的非O特征根

???ma?xn

（由一致阵性质1：Rark(4)=1，A有唯一非O最大特征根且?max?n） ②当主观判断矩阵A不是一致矩阵时，此时一般有：?max?n （Th2） 此时，应有： 即：?max?n??k?max??k

所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标， 即：C?I?显然：

（1） 当?max?n时，有：C?I（2）

?max?nn?1??k?max??kn?1

?0，A为完全一致性

C?I值越大，主观判断矩阵A的完全一致性越差，即：A偏离A越远(用特征向量

作为权向量引起的误差越大)

（3） 一般C?I?0?1，认为主观判断矩阵A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比

较，构造主观判断矩阵。

2．随机一致性检验指标——R?I

问题：实际操作时发现：主观判断矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩阵

的一致性要求。于是引入修正值R?I来校正一致性检验指标：即定义R?I的修正值表为：

A的维数 123456789 0.000.000.580.961.121.241.321.411.45 并定义新的一致性检验指标为：C?R?C?I R?I随机一致性检验指标——R?I的解释： A的不一致程度的容许范围，需要确定衡量A的一致性指示C?I的标准。于是Satty又

引入所谓随机一致性指标R?I，其定义和计算过程为：

为确定

?(i?j)从1～9和1～① 对固定的n，随机构造正互反阵A?，其元素aij?与a?ji的互反性，即：aij?足aij1中随机取值，且满

9??1. ?1?，且aiiaji② 然后再计算A?的一致性指标C?I，因此A?是非常不一致的，此时，C?I值相当大. ③ 如此构造相当多的A?，再用它们的C?I平均值作为随机一致性指标。 ④ Satty对于不同的n(n?1～11)，用100～500个样本A?计算出上表所列出的随机一致性指

标R?I作为修正值表。

3． 一致性检验指标的定义——一致性比率C?R。

由随机性检验指标C?R可知： 当n?1, 2时，R?I?0，这是因为1,2阶正互反阵总是一致阵。

对于n?3的成对比较阵A，将它的一致性指标C?I与同阶（指n相同）的随机一致性指标

R?I之比称为一致性比率——简称一致性指标，

即有：一致性检验指标的定义——一致性比率 定义：C?RC?IC?I：C?R? R?IR?IC?I当：C?R??0?1时，认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许范围之内，可

R?I?用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。 注：上式C?R?C?I?0?1的选取是带有一定主观信度的。 R?I六、标度——比较尺度解：

在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素Ci和Cj对于上层因素O的影响时，采用什么样的相对刻度较好，即aij的元素的值在（1～9）或（1～Satty提出用1～9尺度最好，即aij取值为1～9或其互反数1～

1）或更多的数字，91，心理学家也提出：人们区9分信息等级的极限解能力为7±2。可见对n?n阶矩阵，只需作出

标度aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8， 倒数1，因素i与因素n(n?1)个判断值即可 2定义 j相同重要 因素i比因素j稍重要 因素i比因素j较重要 因素i比因素j非常重要 因素i比因素j绝对重要 因素i与因素j的重要性的比较值介于上述两个相邻等级之间 因素11111111, , , , , , , 23456789j与因素i比较得到判断值为aij的互反aji?1 aii?1 aij数，注：以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：1～9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty曾用的比较尺度为：

① 1～3,1～5,1～6，…,1～11，以及 ②

(d?0.1)～(d?0.9)，其中d?1, 2, 3, 4