武大数学建模培训：多目标决策模型：层次分析法AHP代数模型离散

层次分析法建模

层次分析法（AHP－AnalyticHierachyprocess）----多目标决策方法

70年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：

机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；

统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会

现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法

（2）AHP建模方法基本步骤

（3）AHP建模方法基本算法

（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社

2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社

一、问题举例：

A．大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ②工作收入较好（待遇好）；

③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等）

⑥发展晋升（promote,promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ 工作选择 贡献 收入 发展 声誉 工作环境 生活环境 Ｂ.假期旅游地点选择 可供选择的单位P1’P2‘-----Pn 暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：P1：苏州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层 准则层 方案层

景色 费用 P1 居住 P2 饮食 P3 旅途 选择旅游地 C．资源开发的综合判断 7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

对经济发展、贡献U 交通条件 金Go 经济价值 开采费 风险费 要求量 战略重要性 铁In 铜Co 磷酸盐 钿Ur 铝Al 二、问题分析： 例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即：

目标层：（选择旅游地）

准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则） 方案层：（有P1，P2，P3三个选择地点） 并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中

常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；

中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而

．．．．．

Santy等人提出：一致矩阵法

即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较

2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法——成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层n个因素C1,C2, ?, Cn对上一层因素O的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

采用的方法是：每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响，并用aij表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

A?(aij)nxn, aij?0, aji?1 (或aij?aij?1)（1） aij1 aji由于上述成对比较矩阵有特点：A?(aij) , aij?0, aij?故可称A为正互反矩阵：显然，由aij?例如：在旅游决策问题中：

1，即：aij?aji?1，故有：aji?1 aji（O的重要性为1?CC（景色）1 景色）对目标表示：? a12?1=12C（费用）C（费用）对目标O的重要性为22?2故：a12?1(即景色重要性为1，费用重要性为2）

2O的重要性为4?C1(景色）对目标C（景色）1表示：? a13?4?4=

1C（居住条件）O的重要性为133?C（居住条件）对目标即：景色为4，居住为1。

O的重要性为7?C2(费用）对目标C（费用）2表示：? a23?7?7=

1C（居住条件）O的重要性为133?C（居住条件）对目标即：费用重要性为7，居住重要性为1。

?1??2?1因此有成对比较矩阵：A??4?1?3?1?31211715154712333??55?11?23? 11??11??？？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： ① 即存在有各元素的不一致性，例如：

既然：a12?C11C411??a21?2; a13?1??a31?? C22C31a134所以应该有：a23?C2a21C12????8?8

11C3a31C34C1C2而不应为矩阵

A中的a23?71

2②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n个元素比较次数为：Cn?n(n?1)次， 2!因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素C1, ?, Cn对上层因素O的权重？

对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素C1, ?, Cn对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性 四：一致性矩阵

Def：设有正互反成对比较矩阵：

WWW??? , a1n?1?a11?1?1 a12?1?1 , ?WWW??12n??W2W2W2?a21?? a22??1 , ? , a2n?W1W2Wn??(4) A???W? ?? ? aij?i ?Wj????WWW?a?n an2?n ? ann?n ?1 ??n1W?W2Wn1??除满足：（i）正互反性：即 而且还满足：（ii）一致性：即

则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。 一致性矩阵（一致阵）性质： 性质1：A的秩 Rank(A)=1

A有唯一的非0的最大特征根为n

性质2：A的任一列（行）向量都是对应特征根n的特征向量：

即有(特征向量、特征值)：

?W1??W1?W2A??W?1???Wn?W?1W1W2W2W2?WnW2W1??Wn??W1???W2???W2???Wn?，则向量W??? ???????W?Wn??3??Wn????W1??W1满足：AW????Wn??W?1即：

W1W2?WnW2W1Wn??Wn?Wn???W??nW???1??1???W2??nW2????????nW ?????????????Wn??nWn???(A?nI)W?0

?W1?????W2?启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1,W2,W3,…Wn构成的向量W??

?????W??n?是一致矩阵A的特征向量，则对一致矩阵A来说，可以把一致矩阵A的特征向量W求出之后，再把一致矩阵A的特征向量W归一化后得到的向量?，看成是诸元素W1,W2,W3,…Wn

目标O的权向量。因此，可以用求一致矩阵的特征根和特征向量的办法，求出元素W1,W2,W3,…Wn相对于目标O的权向量。

???