江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第二学期第一次模拟考试数学试题含附加题（word版含答案）

江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答题卡相应，位置上。 1.集合A?{0,e},B={-1,0,1},若A∪B=B,则x=__. 2.复数z?x1?2i(i 是虚数单位)的虚部是___. i3.log24?log42?___.

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为____.

5.在△ABC中，a=4, b=5, c=6,则

sin2A?____. sinC6.已知函数f(x)?sin(x??)?3cos(x??),0≤φ≤π.若f(x)是奇函数,则f()的值为___.

?67.已知f(x)?|log3x|,若a，b满足f(a-1)= f(2b-1),且a≠2b, 则a+b的最小值为____.

8.将黑白2个小球随机放入编号为1, 2, 3的三个盒子中,则黑白两球均不在1号盒子的概率为___.

x2y219.若抛物线x?4y的焦点到双曲线C:2?2?1(a> 0, b>0)的渐近线距离等于,则双曲线C的离心

ab32率为___.

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10. 设m,n为空间两条不同的直线，?,?为空间两个不同的平面，给出下列命题: ①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m∥β,则α⊥β; ③若m∥α,m∥n,则n∥α;④若m⊥α,α∥β,则m⊥β. 其中的正确命题序号是____.

11.设x>0,y>0,向量a= (1-x,4), b= (x,-y),若a||b, 则x+y的最小值为___.

uuuruuur2?12.在△ABC中,点P是边AB的中点,己知|CP|?3,|CA|?4,?ACB?,则CP?CA?___.

313.已知正数a, b, c满足b?2(a?c)b?ac?b,2b的最大值为___. a?cm2x?1?0(m?0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是___. 14.若

mx?1二、解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图,在四棱锥P- ABCD中,已知底面ABCD为矩形,且AB?PA⊥DE.

（1）求证：EF//平面 PAD:（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.

2,BC=1,E,F分别是AB,PC的中点，

16.在三角形ABC中，已知tanB?110,cosC??. 210(1)求角A的值;(2)若△ABC的面积为

3,求边BC的长. 102

17.建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2.

(1)求总造价y (单位:元)关于底边一边长x (单位: m)的函数解析式，并指出函数的定义域; (2)如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围; (3)求总造价y的最小值.

x2y2?1,若圆O:x2?y2?R2(R?0)的一条切线与椭圆C18.在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：?63uuuruuur有两个交点A,B,且OA?OB?0.

(1)求圆O的方程;

uuuuruuurMN?2NQ,求(2)已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且

直线MN的方程.

19.已知函数f((x)?(ax?2x)lnx?2a2x?1(a?R) 2(1)若曲线y= f(x)在x=1处的切线的斜率为2,求函数f (x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数a的取值范围. (e是自然对数的底数, e≈2.71828..)

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{bn}、{cn},对于给定的正整数k,记bn?an?an?k,20.已知数列{an}、cn?an?an?k(n?N*).若对任意

的正整数n满足:bn?bn?1,且{cn}是等差数列,则称数列{an}为“H(k)”数列.

2(1)若数列{an}的前n项和为Sn?n,证明:{an}为H(k)数列;

(2)若数列{an}为H(1)数列,且a1?1,b1??1,c2?5,求数列{an}的通项公式; (3)若数列{an}为H(2)数列,证明:{an}是等差数列.

数学II(附加题)

21.[选做题]本题包括A、B、 C三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10 分) 已知矩阵A??(1)求实数a; (2)求矩阵B的特征值.

B. [选修4- 4: 坐标系与参数方程] (本小题满分10分)

?10??2a?，且AB= BA ,B?????02??01?3?x?t??5在平面直角坐标系xOy中,己知直线l:?，(t为参数).现以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为

4?y?t?5?极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长.

C.[选修4- -5:不等式选讲]

已知x1,x2,x3?(0,??)且满足x1?x2?x3?3x1x2x3，证明:x1x2?x2x3?x3x1?3.

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[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22. (本小题满分10分)

uuurDC??AB(??R,且向如图,在四棱锥P- ABCD中,已知棱AB, AD, AP两两垂直,长度分别为1, 2, 2.若

量uuuPCr与uBDuur夹角的余弦值为1515. (1)求λ的值;

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

23.已知((1?x)2n?1?a22n?10?a1x?a2x?L?a2n?1x,n∈N*.记

Tn??k?0(2k?1)an?k.

n(1)求T2的值;

(2)化简T*n的表达式,并证明:对任意的n?N,Tn都能被4n+2整除.

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