2020届高考数学山东省二轮复习训练习题：专题三第3讲 空间向量与立体几何

4.(2019陕西第二次教学质量检测)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD;

(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为4.

√3

解析 (1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED?平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD, ∵AB?平面ABCD,∴ED⊥AB. ∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°, ∴BD=√1+4-2×1×2cos60°=√3, ∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.

又BD?平面EBD,ED?平面EBD,BD∩ED=D, ∴AB⊥平面EBD.

又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.

(2)以B为坐标原点,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0,0),C(-2,

1√3,0),D(0,√3,0),E(0,√3,2),F(1,0,1), 2

则????? ????=(2,

1√3???? =(1,-√3,-1),????? ,0),????? ????=(0,0,2),????? ????=(1,0,0),?????????=(0,√3,2).

2

???? =(λ,-√3λ,-λ)(0≤λ≤1), 设?????? ????=λ?????则?????? ????=????? ????+?????? ????=(λ,√3-√3λ,2-λ).

设平面ECD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面MAB的法向量为n=(x2,y2,z2),

1√3???? =0,??·?CDx+y=0,

则{即{2121取y1=1,则m=(-√3,1,0);

????? ??·DE=0,2z1=0,

x2=0,???? =0,??·?BA

{即{取y2=2-λ,则n=(0,2-λ,√3λ-√3).

?????? ??x+(3-3λ)y+(2-λ)z=0,√√??·BM=0,222∵平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为4, ∴|cos|=|??|·|??|=解得λ=2或λ=4(舍),

∴点M在线段EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为.

√34

1

5|??·??|

|2-??|2√4λ2-10λ+7√3=4,

√3