高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案

第三节 函数的奇偶性与周期性

教学目标： 知识与技能：了解函数奇偶性的含义与函数的周期性，会运用函数的图象理解和研究的奇偶性

过程与方法：利用图象的单调性研究函数奇偶性质

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的对称性及周期性

教学重点：函数的奇偶性质及图象的对称性 教学难点： 利用函数的奇偶性及周期性研究函数 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1.奇函数、偶函数的定义

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. (1)f(x)为偶函数?f(-x)=f(x) (2)f(x)为奇函数?f(-x)=-f(x) 2.奇偶函数的性质 (1)图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (2)定义域的特征：

奇偶函数的定义域关于原点对称，这是判断奇偶性的前提. 3)对称区间上的单调性：

奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. (4)奇函数图象与原点的关系:

如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)=0 3.周期性

(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0;

②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．

(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期. 二 例题讲解

【典例1】判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=

3?x2?x2?3. 2lg1?x(2)f(x)= .x?2?2

2 ?x??x,x＜0, 3 fx??2? ??x?x,x＞0.【思路点拨】

??????先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断. 【规范解答】(1)由 ??3?x2?0, ?得x2=3, ??x2?3?0,

?x??3,∴函数f(x)的定义域为 {?3,此时3},f(x)=0,

因此函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.

(2)由 ???1?x2＞得0,-1＜x＜0或0＜x＜1.

??x?2?2,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1). 此时x-2＜0,|x-2|-2=-x, ??lg?1?x2∴ fx??.

?x 2????lg又∵ f?x?lg［1??x］???1?x2???f?x?

x?x,∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为：

(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称， ∵当x<0时，-x>0，

则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；

当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.

【变式训练】(1)若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则( ) (A)f(x)与g(x)均为偶函数

(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数

(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 答案 B

(2)判断下列函数的奇偶性. ?x2?2，x＞0, 4?x2①f(x)=

②f?x????0，x?0, x?3?3；???x2?2，x＜0.

答案 都是奇函数

【典例2】(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )