(完整版)待定系数法求递推数列通项公式

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最全的待定系数法求递推数列通项

对应系数相等得 (p?q)x?r，即x?r p?q即 an?1?rr?qn?1?p(an??qn) p?qp?q??r求出数列?an??qn?的通项，进一步求出?an?的通项。

p?q??

2）当s?0时，即an?1?pan?rqn?s

由例4可知只能在选择思路二，两边既要加qn的倍数，也要加常数，最终能变形为

an?1?xqn?1?y?p(an?xqn?y)

比较得x，y的方程组

?(p?q)x?r ??(p?1)y?sr?x??p?q? 即??y?s?p?1?于是 an?1?rsrs?qn?1??p(an??qn?) p?qp?1p?qp?1?rs??qn?求出数列?an??的通项，进一步求出?an?的通项。 p?qp?1??

四：an?2?pan?1?qan?f(n)型(已知a1,a2其中f(n)可以为常数、n的多项式或指数式）以f(n)=0为例。

21例题5.在数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?an?1?an,试求?an?的通项。

33分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把an?1看做常数进行处理，可变

1为an?2?an?1??(an?1?an)，先求出数列?an?1?an?的通项

31 an?1?an?(?)n?1

3然后利用累加法即可进一步求出?an?的通项an。

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最全的待定系数法求递推数列通项

对于形如an?2?pan?1?qan的递推数列，可以设an?2?xan?1?y(an?1?xan)展开，利用

?x?y?p对应系数相等，列方程??xy?q

于是数列?an?1?xan?就是以a2?xa1为首项，y为公比的等比数列，不难求出

?an?1?xan?的通项进一步利用相关即可求出an。

同理，an?2?pan?1?qan?f(n)当f(n)为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 an?2?xan?1?y(an?1?xan)?f(n) 然后把an?1?xan看做一个整体就变为了前面的类型。

五：an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)型，?an?为正项数列 例题6.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an2，试求其通项an。

分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于an?0，所以可联想到对数的相关性质，对an?1?2an2两边取对数，即

lgan?1?lg(2an2)?lg2?lgan2?2lgan?lg2 就是前面的类型一了，即

lgan?1?lg2?2(lgan?lg2) lgan?lg2?(lg2)?2n?1?lg22 变形得 an?22n?1?1n?1

对于类似an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 lgan?1?lgp?anr?rlgan?lgp

lgp??然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列?lgan?1??为已

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lgp??知首项和公比的等比数列了。求出?lgan?1??最终就可以得出?an?的通项。

r?1?? 同样，如果将an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)中的p换为指数式qn时，同样可以利用相同的方法。即：an?1?qn?anr(q?1且q?R?，r?0,r?1) 两边取对数 lgan?1?lg(qn?anr)?rlgan?nlgq 变为类型二 lgan?1?x(n?1)?y?r(lgan?xn?y) 即可进一步得出?an?的通项。

以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。 六：an?1?ran?s(pr?0)型

pan?q例题7.在数列?an?中，a1?1,an?1?an，试求其通项an。

3an?2分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为3an?1an?2an?1?an?0后就无法进行处理了。两边同时取倒数

3a?211?n?2??3 an?1anan就是前面的类型一了。

?1?1?3?2??3? an?1?an??1?1所以数列??3?是首项为?3?4，公比为2的等比数列，不难求出

a1?an? an?

12n?1?3

例题8.在数列?an?中，a1?1,an?1?an?2，试求其通项an。

3an?2分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒

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11??4??3 an?1an?2左右两边

11与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一an?1an?2致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：

2?2x??(3x?1)?an??an?23x?1?? an?1?x??x?3an?23an?2此时如果

2x?22?x，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得x1??,x2?1 3x?132???1?an??23?因此 an?1???

33an?2 an?1?1?（4an?1?1）

3an?2（4an?1?1），

3an?2此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择an?1?1?两边取倒

1an?1?11??3an?2113???

（4an?1?1）4an?14回到了类型一

3113??(?)

an?1?154an?15根据类型一的方法易求出：

4?(?4)n?1?1 an? n?16?(?4)?1现在我们将两式相比：

22an?3??1?3

an?1?14an?1an?1?2??a??n3?则数列??是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出an。

a?1?n???