(完整版)待定系数法求递推数列通项公式

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最全的待定系数法求递推数列通项

用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。

一、an?1?pan?q 型（p、q为常数，且pq?0,p?1） 例题1.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an?1,试求其通项公式。

分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在an?1?2an?1的两边同时加上1，整理为an?1?1?2(an?1)，此时，把an?1?1和an?1看作一个整体，或者换元，令bn?1?an?1?1，那么bn?an?1，即bn?1?2bn，b1?a1?1?2，因此，数列?an?1?或?bn?就是以2为首项，以2为公比的等比数列

an?1?2n，或者bn?2n，进一步求出a?2n?1。

n启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列?an?1?，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？

其实，已知an?1?2an?1，可变形为an?1???2(an??)的形式，然后展开括号、移

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项后再与an?1?2an?1相比较，利用待定系数法可得2????1,??1。

这样，对于形如an?1?pan?q（其中p、q为常数，且pq?0,p?1）的递推数列，先变为an?1???p(an??)的形式，展开、移项，利用待定系数法有 (p?1)??q，??q p?1即 an?1?qq?p(an?) p?1p?1?qq?a?,公比为p的等比数列 则数列?an?首项为?1p?1p?1?? an?qqqq?(a1?)pn?1即an?(a1?)pn?1? p?1p?1p?1p?1 因此，形如an?1?pan?q这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。 那么，若q变为f(n),f(n)是关于n非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？

二 a?pa?qn?r(pq?0,且p?1)型

n?1n例题2.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3n?1,试求其通项公式。

分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为an?1??(n?1)???2(an??n)?1，展开比较得??3,即 an?1?3(n?1)?2(an?3n)?4 进一步

an?1?3(n?1)?4?2(an?3n?4)

则数列?an?3n?4?是a1?3?1?4?8首项为a1?3?1?4?8公比为2的等比数列，所以

an?3n?4?8?2n?1?2n?2，an?2n?2?3n?4

同样，形如an?1?pa?qn?r的递推数列，设an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)展开、

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?(p?1)x?q移项、整理，比较对应系数相等，列出方程?

(p?1)y?x?r?q?x??p?1?解得 ?

qr?y?x?r???p?1(p?1)2p?1?即an?1??qqrqqr?(n?1)???pa?n???np?1? 2p?1(p?1)2p?1(p?1)p?1???qqrqqr?a???则数列?an?是以为首项，以p为公比n???122p?1(p?1)p?1p?1(p?1)p?1??的等比数列。于是就可以进一步求出?an?的通项。

同理，若a也可以构造新的等比数列，?pa?f(n)其中f(n)是关于n的多项式时，

n?1n利用待定系数法求出其通项。比如当f(n)?qn2?rn?s=时，可设 an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?p(an?xn2?yn?z) 展开根据对应系数分别相等求解方程即可。

f(n)为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。

而如果当f(n)是n的指数式，即f(n)?qn?r时，递推公式又将如何变形呢？

三 a?pa?rqn?s型(pqr?0,且p?1,q?1,p?q)

n?1n例题3.在数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n,试求其通项an。

分析1：由于an?1?3an?2n与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进行变形，在两边同时加上2?2n变为an?1?2n?1?3an?3?2n即 an?1?2n?1?3(an?2n)

则数列?an?2n?是首项为3，公比为3的等比数列an?2n?3n，则 an?3n?2n

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分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除2n?1

an?13an13an1 n?1?n?1????

22222n2就回到了我们的类型一。进一步也可求出an?3n?2n。

例题4.在数列?an?中，a1?3,an?1?3an?5?2n?4,试求?an?的通项an。 分析：若按例题3的思路2，在两边同时除以2n?1，虽然产生了了

anan?1、，但是又增加2n?12n42n?1，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1，在两边同时加上10?2n整理

an?1?5?2n?1?3(an?5?2n)?4 进一步

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2) 则数列?an?5?2n?2?是首项为15，公比为3的等比数列 an?5?2n?2?15?3n?1?5?3n 即 an?5(3n?2n)?2

启示：已知数列?an?的首项，an?1?pan?rqn?s(pqr?0且p?1,q?1,q?p)

1）当s?0,即an?1?pan?rqn由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比已知或可求的等比数列。

思路一：在两边同时除以qn?1，将不含an?1和an的项变为常数，即

an?1panr??? qn?1qqnqr??

?q??an?

为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列?n??最终求解出?an?p?q?1?

q????

的通项。

思路二：在两边同时加上qn的倍数，最终能变形为an?1?xqn?1?p(an?xqn)