2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 4.1

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核心考点·精准研析

考点一 象限角与终边相同的角

1.若角α是第二象限角,则是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角

2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-A.C.

x上,则角α的取值集合是 ( )

B. D.

3.下列各角中,与角330°的终边相同的是 ( ) A.150° B.-390° C.510° D.-150° 4.与-2 010°终边相同的最小正角是________. 【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+ kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.

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2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取

值集合为{α|α=kπ-,k∈Z}.

3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α=-390°.

4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,

所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°. 答案:150°

1.表示区间角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.

(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合. 2.象限角的两种判断方法

(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.

(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 3.求或nθ(n∈N*)所在象限的方法

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(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示. (2)两边同除以n或乘以n.

(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N*)所在的象限.

提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角. 【秒杀绝招】

结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.

排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.

考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式

【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________. 【解题导思】

序号 1 联想解题 由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r 由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为2 函数求最值

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【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.

由sin 60°=得r=4所以l=|α|·r=答案:

π

×4

cm, =

π(cm).

2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积

S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad). 答案:2

有关弧长及扇形面积问题的注意点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

1.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. 【解析】设圆心角是θ,半径是r,则

解得(舍去)或

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