5数值积分与数值微分课件

由Gauss型求积公式的代数精度为2n?1及积分中值定理有，Gauss求积余项为

R?f?????x?f?x?dx??Akf?xk?ak?1bn?f????b?x?2xdx,??[a,b]

??n???2n??2n?!

a127

3) Gauss型求积公式的数值稳定性

2fx?l对任意i, 取??in?1?x?,lin?1?x?是关于

Gauss点x1,x2,?,xn的n?1次Lagrange插值函数，有lin?1?xj???ij,由Gauss公式的代数精度为2n?1，而f?x?是2n?2次多项式，有

220????x?linxdx?Al???kin?1?xk??Ai ?1ak?1bn由i的任意性可知，Gauss求积系数Ai?0。 若在Gauss公式中取f?x??1，可得

?A????x?dx

kk?1anb

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类似Newton-Cotes稳定性处理方法，有在计算机计算时的舍入误差

?n??A?k?1nk?1nkk??Ak?kk?1nban??Ak?k???Ak?????x?dxk?1

这说明Gauss型求积公式是稳定的。

在Gauss公式中，不同的权函数??x?和不同积分区间[a,b]，对应不同形式的Gauss公式，但最基本和常用的Gauss公式有4种。

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4） 常用的Gauss型求积公式 （1） Gauss-Legendre求积公式 权函数??x??1，积分区间为[?1,1], Gauss点为n次Legendre正交多项式

Lx??1dn??2nn??2nn!dxn??x?1??? 的零点，Gauss-Legendre求积公式为

?1n?1f?x?dx??Akf?xk?k?1

Gauss-Legendre求积余项为

R?f??22n?1?n!?4?2n?1??3f?2n????,????1,1? ??2n?!??

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