5数值积分与数值微分课件

关于插值型求积公式的结论

定理5.3 n点插值型求积公式的代数精度至少是n?1，至多为2n?1。

定义5.3 若n点的求积公式具有2n?1次代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式，对应的求积节点xk和求积系数Ak分别称为Gauss点和Gauss系数。

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例5.4确定参数x1,x2,A1,A2，使求积公式

?10?1?f?x?ln??dx?A1f?x1??A2f?x2?

?x?成为Gauss求积公式。

解 注意到被积函数中有一因式与求积公式右端无明显的关系，可将其视为权函数。为确定四个参数，依次取

f?x??xk,k?0,1,2,3

代入公式并将近似号取为等号，得联立方程组

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A1?A2?1??x1A1?x2A2?1?4??22xA?xA2?1112?9?33xA?xA2?1112?16?

解出

x1?0.112009,x2?0.602277A1?0.718539,A2?0.281461

由于本题求积节点个数为n?2，其最高

代数精度2n?1?3，故所求的求积公式

?代数精度至少是3，故它是Gauss公式。

01?1?f?x?ln??dx?0.718539f?0.112009??0.281461f?0.602277??x?

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2) Gauss型求积公式的求积余项 设f?x??C2n[a,b],取f?x?在Gauss点x1,x2,?,xn上的2n?1次Hermite插值多项式H2n?1?x?,由Hermite插值余项公式，有

x??Hf?2n?f????22n?1?x???2n?!?n?x???[a,b]

两边积分，有

?b??x?f?x?dx?bb??x?f?2n????a?a??x?H2n?1?x?dx??a?2n?!?2n?x?dx

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