5数值积分与数值微分课件

为使问题讨论更具一般性，这里考虑带权的定积分求积公式

???x?f?x?dx??Af?x? （5.11）

akkk?1bn

式中??x?是已知的非负函数，为区间[a,b]上的权函数，[a,b]可以取为?。 显然在式（5.11）中，若??x??1，就是前面讨论的求积公式。

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定理5.2 求积公式(5.11)的代数精度最大为

2n?1。

证明 设x1,x2,?,xn是求积公式(5.11)的任意一组求积节点，用此节点构造插值型求积公式(5.11)，并令

?n?x???x?x1??x?x2???x?xn?

取2n次多项式f?x???n2?x?代入公式(5.11), 考虑它的求积余项，有

R?f?????x??ab2n?x?dx??Ak??xk???a??x??n2?x?dx?0

2nk?1nb因为?n2?x?是2n次多项式，由代数精度定义得

???x?f?x?dx??Af?x?的代数精度不大于2n?1。

bakkk?1n

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为证求积公式?a??x?f?x?dx??Akf?xk?的代数精

k?1bn度可以为2n?1，设f?x?是任意一个2n?1次多项式，用?n?x?去除f?x?，由多项式除法有

f?x??q?x??n?x??r?x?,f?xk??r?xk?,k?1,2,?,n

式中q?x?,r?x?都是次数不大于n?1的多项式，于是有

???x?f?x?dx????x?q?x???x?dx????x?r?x?dx(5.12)

aanabbb因为上面的求积公式(5.11)是具有n个节点的插值型求积公式，故其代数精度不小于n?1，从而有

???x?r?x?dx??Ar?x???Af?x?

akkkkk?1k?1bnn

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要让式（5.11）成为等式，由式（5.12）应有

???x?q?x???x?dx?0 （5.13）

anb式（5.13）要求对固定的n次多项式?n?x?和任意次数不超过n?1的多项式q?x?都成立，这样可以用q?x?的这种任意性，选择求积节点x1,x2,?,xn。 由正交多项式理论可知：使式（5.13）成立的点 x1,x2,?,xn是存在唯一的，且都在?a,b?内，它就是在?a,b?关于权??x?的n次正交多项式的零点。

于是选取这些点作为求积公式的求积节点，并构造对应的插值型求积公式，就得到具有2n?1次迭代精度的求积公式了。

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