5数值积分与数值微分课件

插值型求积公式的求积余项

R?f???baf(n)(?)?n(x)dx n!当f(x)为次数小于n次的多项式时，有f?n?(x)?0，对应的R(f)?0。

因此插值型求积公式的代数精度至少为n-1。

若取f(x)?1，代入式(5.4)，可得插值型求积公式的求积系数之和为

?Ak?1

nk?b?a

下面具体介绍常用的几个插值型求积公式。

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2. Newton-Cotes求积公式

1) n点的Newton-Cotes公式的构造 将求积节点xi取为[a,b]上的等距节点

b?axi?a??i?1?h,h?,i?1,2,?,n n?1做积分变量变换:x?a?th

则当x??a,b?时,有t??0,n?1?,于是有插值型求积公式的求积系数为

?x?xkAi????ak?1?xi?xkk?ibn?n?n?1?b?a?t?k?1?dtdx????0?? n?1i?k?k?1??k??i?

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记C??ni??1n?1?nt?k?1??dt??0??n?1i?k??1?kk?i??，则有

(5.5)

Ai??b?a?Ci,i?1,2,?,n?1Ci?n?常称为

?n?Cotes系数，易验证

??C?i?1

ni?1n通常称

?baf(x)dx??b?a??Ci??f(xi) （5.6）

ni?1n为n点的Newton-Cotes公式。

由于求积节点xi是等距的，因此也称式（5.6）为等距节点求积公式。

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利用C??ni??1n?1?nt?k?1??dt??0??n?1i?k??1?kk?i??可以得出下面常用的Newton-Cotes公式

A) 2 点的Newton-Cotes公式

?bab?af?x?dx?f?a??f?b?? （5.7） ?2这正是我们熟悉的梯形公式。 B) 3点的Newton-Cotes公式为

?baf?x?dx?b?a?6??f?a??4f??a?b??2???f?b???? （5.8） 称它为Simpson公式或抛物线公式。

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