5数值积分与数值微分课件

2）复化梯形公式的余项

n?1b?a??记Tn?f(a)?f(b)?2f(x)?k?2n?k?1??(5.15)?bah3f(x)dx?Tn???f??(?k)k?012n?1?k??xk,xk?1

????a,b?h3nb?a2??f??(?)??hf??(?)1212故复化梯形公式的求积余项

R?f,Tn???f(x)dx?Tn??ab

b?a2hf??(?)12???a,b?

由此可知,复化梯形公式的代数精度是1。

若f???x??M，对给定计算精度?，令

2R?f,Tn??b?a2hM2??12得出h?说明利用复化求积公式能得到计算误差小于?的定积分近似值。

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12??b?a?M2

2. 复化Simpson公式

1） 复化Simpson公式的构造原理

b?a,i?0,1,2,?,n将积分区取等距节点n间[a,b] n等分,在每个小区间?xk,xk?1?,k?0,1,?,n?1上用

xi?a?ih,h?Simpson公式做近似计算，再累加起来就有

?baf(x)dx???k?0n?1xk?1xkh?f(x)dx???f(xk)?4fk?06?n?1n?1h???f(a)?f?b??4?6?k?0???xk?xk?1????f(xk?1)? 2???n?1???f?x1??2?f(xk)?k?1??k?2??

式中xk?12?xk?h，得复化2Simpson公式

n?1???f?x1??2?f(xk)? k?k?1??2?? (5.16)?ban?1b?a?f(x)dx??f(a)?f?b??4?6n?k?0?

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2）复化Simpson公式的余项

n?1b?a?记Sn??f(a)?f?b??4?6n?k?0?n?1???f?x1??2?f(xk)?k?1??k?2???5.17? 有复化Simpson公式的求积余项

R?f,Sn???h?bab?a?h??4?f(x)dx?Sn????f(?)180?2?4b?a,???a,bn ?从复化simpson公式的求积余项可以看出复化simpson公式的代数精度是3，它在代数精度和计算精度上都比复化梯形公式好。

复化Simpson公式也称为复化抛物线公式。

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例5.6分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算

I??excosxdx，要求误差不超过0.5?10?3。

0n2解 为较快得结果，积分区间分割数按

n?n?0,1,?进行。数值计算结果列表，其中R代表求积余项。

N 2 2222 3 复化梯形公式 复化Simpson公式 24 5 26 27 28 -17.389 259 5.32 -13.336 023 1.27 -12.382 162 0.312 -12.148 004 -12.089 742 -12.075 194 -12.071 558 -12.070 649 本题积分的准确值为，可见复化梯形公式和复化Simpson公式能求出精度较高的解。

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-11.592 840 -11.984 944 -12.064 209 -12.069 951 -0.478