5数值积分与数值微分课件

（4）Gauss-Hermite求积公式 权函数??x??e,积分区间?x2, Gauss点为n

次Hermite正交多项式

H????1?nex2dn?x2n?xdxn?e? 的零点，Gauss-Hermite求积公式为 ????x2n??ef?x?dx??Akf?xk?

k?1Gauss-Hermite求积余项为

R?f??n!??2n?2n?2n?!f???,?????,??? Gauss-Hermite求积公式的Gauss点及系数有表。

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例5.5用两点Gauss公式求定积分

I??20x?1.5dx

的近似值。

解 本题为有限区间的定积分，可用两点Gauss-Legendre 求积公式计算。做积分换元，将其化为[-1,1]上的定积分，即令

0?22?0x??t?1?t有

22?

20x?1.5dx??1?1t?2.5dt?0.5773503?2.5??0.5773503?2.5?3.140834

本题准确值为

，可见精度很高。

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5.4复化求积公式

Newton-Cotes公式在n>8时数值不稳定，因此不能用增加求积节点的方法来提高计算精度。实用中常用复化求积公式来求积区间[a,b]上的定积分，以获得满足给定计算精度要的定积分值。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化Simpson公式。

基本思想

将求积区间[a,b]分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的Newton-Cotes公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加起来作为原定积分的近似值。

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1. 复化梯形公式

1）复化梯形公式的构造原理 取等距节点b?axi?a?ih,h?,i?0,1,2,?,n将积分n区间[a,b] n等分,在每个小区间?xk,xk?1?,k?0,1,?,n?1上用梯形公式做近似计算，就有

?baf(x)dx???k?0n?1xk?1xkhf(x)dx???f(xk)?f(xk?1)?k?02n?1得求积公式---复化梯形公式：

n?1h????f(a)?f(b)?2?f(xk)?2?k?1?

?

ban?1b?a??f(x)dx?f(a)?f(b)?2f(x) ?k??2n?k?1? (5.14)138