5数值积分与数值微分课件

Gauss-Legendre求积公式的Gauss点xk与系数Ak

表 5.2

n 1 2 3

x k 0.000 000 0 0.577 350 3 0.000 000 0 0.774 596 7 A k n x k A k 2.000 000 0 4 1.000 000 0 0.888 888 9 5 0.555 555 6 0.861 136 3 0.347 854 8 0.339 981 0 0.652 145 2 0.000 000 0 0.568 888 9 0.906 179 8 0.236 926 9 0.538 469 3 0.478 628 7 131

Gauss-Legendre求积公式可以计算任何有限积分区间的定积分，计算之前先作变量代换

x?a?b2?b?a2t 将积分区间?a,b?变到??1,1?，有

?bf?x?dx?b?a12??1f??a?ba?2?b?a2t???dt 然后再对

?1f??a?b?1?2?b?a2t???dt 用Gauss-Legendre求积公式。

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（2） Gauss-Chebyshev求积公式

权函数??x??1,求积区间为??1,1?，Gauss点

1?x2为n次Chebyshev正交多项式

Tn?x??cos?narccosx?

的零点，Gauss-Chebyshev求积公式为

?1f?x?n?11?x2dx??Akf?xk? k?1式中Gauss点xk与系数Ak x?1???k?cos?2k2n,Ak?n,k?1,2,?,n Gauss-Chebyshev求积余项 R?f??2?22n?2n?!f?2n????,????1,1?

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（3） Gauss-Laguerre求积公式

权函数??x??e?x,积分区间为[0,??)，Gauss点为n次Laguerre正交多项式

xdnn?xLn?x??exe? n?dx的零点，Gauss-Laguerre求积公式为

???0ef?x?dx??Akf?xk?

?xk?1nGauss-Laguerre求积余项为

2n!??f?2n??,R?f?????2n?!计算好的表。

???0,??? Gauss-Laguerre求积公式的Gauss点和系数也有事先

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