同济大学线性代数第五版课后习题答案

34 设

1

2

s是非齐次线性方程组 ks为实数

满足

Axb的s个解 k1 k2 k1k2 ks1. 证明

xk1

也是它的解. 证明 因为的解

所以

i1

1

k2

2

kss

2

s都是方程组Axb Ab (i1 2

1

s)

2

从而 A(k1k2ksA

s

kss)k1A1

k2A2

因此x 35

1

(k1k2 ks)bb

2

k1

1

k2 kss也是方程的解

设非齐次线性方程组Ax2

b的系数矩阵的秩为r

1个线性无关的

nr1

是它的nr解 试证它的任一解可表示为

1

xk1k2

2

kn

r1nr1

(其中k1k2

knr1

1).

nr1

证明 因为

1

2

均为Axb的

解

nr 所以

nr1

121

231

1

均为Ax1

b的解

2

用反证法证

nr线性无关

2

设它们线性相关

nr 则存在不全为零的数

1

使得

1

1

即

nr 2

22

2

(

3

1

)

nr nr0

1

(

1

) (

nr11

)0

2

0

nr1

nr亦即 由

1

(

1

)

11223

nrnr1

2

(

1

2

线性无关知

nr 矛盾

2

)

12

nr0

1

因此

2

nr线性无关

1

nr为Axb的一个基础解系

1

设x为Axb的任意解 则x

2

为Ax0的解 设

nr 故

x1

可由

1

1

nr线性表出

x1

k2k3

2

knr1

k2(

21

)k3(

31

) knr1

(

nr1

1

)

x1

(1

k2k3 knr1

)k2

2

k nr1

nr1

令k1

1k2

k3 knr1

则k1k2k3 knr1

1 于是

xk1

1

k2

2

knr1nr1

36

设

V1{x(x1 x2

xT

n)| x1

xnR满足x1x2

xn0}V2{x(x1 x2

xT

n)| x1

xnR满足x1x2

xn1}问V1

V2是不是向量空间为什么

解 V1是向量空间 因为任取

(a1

a2

aT

n)

V1 b2

bT

n)

V1 R

有 a1a2 an0 b1b2

bn0

k3

3

(b1

从而 (a1b1)(a2b2)

(a1

a2 bn)0

a1a2 an)0

所以 (a1b1 aTnbn)V1

(

a1 a2

V2不是向量空间 因为任取

(a1

a2

bT

2

bn)V1

有 a1a2 an b1b2 bn从而 (a1b1)(a2b2)

(a1

a2 bn)2

所以 (a1b1 aTnbn)V1

2b2 an)

T

1 1

2b2(anbn)

an)(b1b2

an(a1a2

a

n)

TV1

V1 (b1

(anbn)

an)(b1b2

a a