当前位置：首页 > 同济大学线性代数第五版课后习题答案
所以与方程组III同解的方程组为
??x1??x4 ?x2?x4??x3?2x4 取x4
T1 得(x1 x2 x3)(1 1 2)
T 方程组
III的基础解系为
(
1
1
2
1)
T
因此I与II的公共解为x 26
设n阶矩阵A满足A2
c(1 1 2 1)T cR A E为n阶单位矩阵, 证明
R(A)R(AE)n
证明 因为
A(AE)A2AAA0 所以
R(A)R(AE)n
又R(AE)R(EA) 可知
R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n
由此R(A) 27
R(AE)n
证明
设A为n阶矩阵(n2) A*为A的伴随阵
n 当R(A)?n??R(A*)??1 当R(A)?n?1??0 当R(A)?n?2
证明 当R(A)n时 |A|0 故有
0 |A*|
0
|AA*|||A|E||A|所以R(A*)n 当R(A)
n1时 |A|0 故有
因为R(A)n1
所
AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax以方程组Ax0的解
0的基础解系中只含一个解向量
1
即基础解系
的秩为1 因此R(A*) 当R(A)n2时故A* 28
A中每个元素的代数余子式都为0
O 从而R(A*)0
求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方
有
程组的基础解系
??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1??5x1?3x2?2x3?2x4?3 解 对增广矩阵进行初等行变换
?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013??53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为
??x1??x3?8?x2? x3?13??x4? 2
(
8 13
0
当x30时 得所给方程组的一个解
2)
T
与对应的齐次方程组同解的方程为
??x1??x3??x2? x3
?x4?0 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系
1 1 0)
T
??x1?5x2?2x3?3x
?x6x4?11 (2)?51?3x4x2?3?x4??1?2x1?2?2x3?x4??6 解 对增广矩阵进行初等行变换
有
B???1?52?3?5 ?23462?1111??1??6? ~r ??109/7?1/21???0?010?10/71/02?02??? 与所给方程组同解的方程为
??x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1?x?(1/7)x?(1/2)x?2
234 当x3
x40时 得所给方程组的一个解
1
(
(1 2 0 0)
T
与对应的齐次方程组同解的方程为
?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?x?(1/7)x?(1/2)x?234 分别取(x3
x4)
T 1)
T(1 0)
T (0 得对应的齐次
方程组的基础解系
1
(9 1 7 0)
T
2
(1 1 0 2)
T
29知
1
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3
2
已
3
是它的三个解向量
5)
T 且
3
1
(2 3 4
2
(1 2 3 4)
T
求该方程组的通解
解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3
所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量
1
且由于
2
3
均为方程组的解 由非齐次线性方程组
解的结构性质得 2
1
(
23
)(
12
)(
13
) (3
4 5
6)
T为其基础解系向量 故此方程组的通解
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