同济大学线性代数第五版课后习题答案

所以与方程组III同解的方程组为

??x1??x4 ?x2?x4??x3?2x4 取x4

T1 得(x1 x2 x3)(1 1 2)

T 方程组

III的基础解系为

(

1

1

2

1)

T

因此I与II的公共解为x 26

设n阶矩阵A满足A2

c(1 1 2 1)T cR A E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)R(AE)n

证明 因为

A(AE)A2AAA0 所以

R(A)R(AE)n

又R(AE)R(EA) 可知

R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n

由此R(A) 27

R(AE)n

证明

设A为n阶矩阵(n2) A*为A的伴随阵

n 当R(A)?n??R(A*)??1 当R(A)?n?1??0 当R(A)?n?2

证明 当R(A)n时 |A|0 故有

0 |A*|

0

|AA*|||A|E||A|所以R(A*)n 当R(A)

n1时 |A|0 故有

因为R(A)n1

所

AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax以方程组Ax0的解

0的基础解系中只含一个解向量

1

即基础解系

的秩为1 因此R(A*) 当R(A)n2时故A* 28

A中每个元素的代数余子式都为0

O 从而R(A*)0

求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方

有

程组的基础解系

??x1?x2?5 (1)?2x1?x2?x3?2x4?1??5x1?3x2?2x3?2x4?3 解 对增广矩阵进行初等行变换

?11005?r?1010?8?B??21121? ~ ?01?1013??53223??00012????? 与所给方程组同解的方程为

??x1??x3?8?x2? x3?13??x4? 2

(

8 13

0

当x30时 得所给方程组的一个解

2)

T

与对应的齐次方程组同解的方程为

??x1??x3??x2? x3

?x4?0 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系

1 1 0)

T

??x1?5x2?2x3?3x

?x6x4?11 (2)?51?3x4x2?3?x4??1?2x1?2?2x3?x4??6 解 对增广矩阵进行初等行变换

有

B???1?52?3?5 ?23462?1111??1??6? ~r ??109/7?1/21???0?010?10/71/02?02??? 与所给方程组同解的方程为

??x1??(9/7)x3?(1/2)x4?1?x?(1/7)x?(1/2)x?2

234 当x3

x40时 得所给方程组的一个解

1

(

(1 2 0 0)

T

与对应的齐次方程组同解的方程为

?x1??(9/7)x3?(1/2)x4?x?(1/7)x?(1/2)x?234 分别取(x3

x4)

T 1)

T(1 0)

T (0 得对应的齐次

方程组的基础解系

1

(9 1 7 0)

T

2

(1 1 0 2)

T

29知

1

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3

2

已

3

是它的三个解向量

5)

T 且

3

1

(2 3 4

2

(1 2 3 4)

T

求该方程组的通解

解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3

所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量

1

且由于

2

3

均为方程组的解 由非齐次线性方程组

解的结构性质得 2

1

(

23

)(

12

)(

13

) (3

4 5

6)

T为其基础解系向量 故此方程组的通解