同济大学线性代数第五版课后习题答案

?2?3?21?r?102/19?1/19? A??354?2? ~ ?0114/19?7/19??876?3??000?0????于是得

x1??(2/19)x3?(1/19)x4 ??x??(14/19)x?(7/19)x?234 取(x3 取(x3

x4) x4)

T

x2) x2)

T(19 0)(0

19)

T 得(x1 得(x1

(2(1

14) 7)

TT

TTT

因此方程组的基础解系为 19)

(3)nx1

(n1)x2

2xn1

1

(2 14 19 0)

T

2

(1 7 0

T

xn0.

解 原方程组即为

xn 取x1

nx1(n1)x2 2xn1 x2

1

x3 xn

1

0

得xnn

0

得

取x21 x1x3x4 xn1

xn(n1)n1

取xn1

1

x1x2 xn2

0 得xn2

因此方程组的基础解系为

23且

1

(1(0

0 1

0 0

0 0

n)T n1)T

2

n1

(0 0 0 1 2)

T

2?213, 求一个42矩阵B, 使AB0, 设A???9?528????R(B)2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解

因为

r2?213 ~ ?10?1/81/8? A???9?528???01?5/8?11/8?????

所以与方程组AB0同解方程组为

x1?(1/8)x3?(1/8)x4 ??x?(5/8)x?(11/8)x?234 取(x3 取(x3方程组AB x4) x4)

T

得(x1 x2) 得(x1 x2)

T(8(0

0) 8)

T(1 5)(

T

TTTT1 11)

0的基础解系为

1

(1 5 8 0)

T

2

(1 11 0 8)

T

?1?5 因此所求矩阵为B??8?0? 24

1

?1?11?0?8??

求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 (0 1 2

3)

T

2

(3 2 1 0)

T

解 显然原方程组的通解为

?x1??0??x1?3k23???x??1??2??x?k?2k2?x??k1?2??k2?1?, 即?x2?21k?k2?3??3??0??x3?3k12???41?x4??? (k1 k2R)

消去k1 k2得

?2x1?3x2?x4?0?x?3x?2x?0?134此即所求的齐次线性方程组. 25

设四元齐次线性方程组

II

x1?x2?0 I ??x?x?0

?24求

x1?x2?x3?0 ??x?x?x?0?234

(1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解

x1??x4 解 (1)由方程I得??x?x?24 取(x3 取(x3

x4) x4)

T

T(1(0

0) 1)

T 得(x1 x2) 得(x1 x2)

(0 0)(

T

TTTT1 1)

因此方程I的基础解系为

1

(0 0 1 0)

T

2

(1 1 由方程II得??x1??x4?x

2?x3?x4 取(x3 xT4)(1 0)T 得(xT1 x2)(0 取(xT3

x4)

(0

1)

T 得(xT1 x2)

(

1 因此方程II的基础解系为

1

(0 1 1 0)

T

2

(1 1 (2) I与II的公共解就是方程 ? III ?x?x1?x2?0?x2?x4?0

1?x2?x?x2?x3?03?x4?0的解 因为方程组III的系数矩阵

?10 A???01?01??r?0?0? ~ ?1?0100101?110?1?111?01??1??

???00002?0?? 0 1)

TT

1)

T 0 1)

T

1)