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ak(1/

k)(

11

a22

a

k1k1

a)

即ak能由a1 a2 19

ak1线性表示

设向量组B b1 as线性表示为

br)(a1

br能由向量组A a1

(b1 矩阵

as)K 其中K为sr 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件

是矩阵K的秩R(K)r

br) A(a1

证明 令B(b1

as) 则有BAK

必要性

设向量组B线性无关

有 R(K)}

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 rR(B)R(AK)及 R(K)因此R(K) 充分性

min{r s}

min{R(A)

R(K)

r

r

因为R(K)r 于是

所以存在可逆矩阵C 使

E?KC???Or?为K的标准形

?? (b1

br)C( a1 as)KC(a1

ar)

因为C可逆

所以R(b1

br)

R(a1 ar)r 从而b1 br线性无关

20

设

?????1? ?2??3? ? ? ? ????? ? ??n ? ?2 ? ? ? 1 ??? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ?n

???n??1??2??3? ? ? ? ?? ?? ? n?1证明向量组1

2

n与向量组

1

n等价

证明 将已知关系写成

??0(?, ? ? ? , ?10111????11, ?2, ? ? ? , ?n)?(?1, ?2n)??1??1????????1???

?11??0?1????????1??0????将上式记为BAK 因为

01|K|?11011????11??1???11??0???1????????????1??(?1)n?1(n?1)?0

0

2

所以K可逆

1

故有ABK

1

由BAK和ABK 1可知向量组

1

2

n与向量组

1

2

2

nn可相互线性表示向量组 21

1

因此向量组

n

与

2

等价

已知3阶矩阵A与3维列向量x满足Ax Ax(x Ax线性无关 Ax2

2

3

3AxA2x

且向量组x (1)记P

Ax) 求3阶矩阵B 使APPB

解 因为 AP

A(x Ax A2x)

(Ax(Ax Ax Ax222

Ax) 3Ax3

A2x)

?000? ?(x, Ax, Ax)?103??01?1????000?所以B??103??01?1??? (2)求|A| 解 由Ax3

3AxA2x 得A(3xAxA2x)0 因为x

Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非

零解 22

所以R(A)3 |A|0

求下列齐次线性方程组的基础解系

有

??x1?8x2?10x3?2x4?0 (1)?2x1?4x2?5x3?x4?0??3x1?8x2?6x3?2x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换

0??1?8102?r?104 A??245?1? ~ ?01?3/4?1/4??386?2??000?0????于是得

x1??4x3 ??x?(3/4)x?(1/4)x?234 取(x3 取(x3

x4) x4)

T

得(x1 x2) 得(x1 x2)

T(4(0

0) 4)

T(16 3)

TT

TTT(0 1)

因此方程组的基础解系为

1

(16 3 4 0)

T

2

(0 1 0 4)

T

??2x1?3x2?2x3?x4?0 (2)?3x1?5x2?4x3?2x4?0??8x1?7x2?6x3?3x4?0 解 对系数矩阵进行初等行变换 有