数列

《高中数学课程标准试验教科书·数学5（必修）》第二章

数列

李晓媛（重庆市渝西中学）

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.

一、内容与课程学习目标

本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系.通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：

1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．

2．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．

二、内容安排

本章共有五节内容，教学时间约需12课时，具体安排如下(仅供参考)： 2．1数列的概念与简单表示法 约2课时 2．2等差数列 约2课时 2．3等差数列的前n项和 约2课时 2．4等比数列 约2课时 2．5等比数列的前n项和 约2课时 小结与复习 约2课时 本章的知识结构如下：

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1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的.教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）.作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式.等差数列的前n项和公式是通过1?2?3???100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法.与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式.最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用.

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱.教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数.随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数.通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是一种函数，是刻画离散过程的一种重要数学模型.

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教科书的这种编排和呈现方式，一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用，提高对本章内容的学习兴趣，为下面将要开始的有关等差数列与等比数列的学习做好铺垫.

3．等差数列在日常生活中有着广泛的应用，并且大量存在于学生周围．教科书首先从学生熟悉的四个实例入手，引出了等差数列的概念，并且结合实例（衬衫的尺码）对等差数列作了说明.随后由等差数列的概念导出等差中项的概念，然后推导出了等差数列的通项公式.

这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程，加强了对等差数列基本概念、性质的理解，初步培养了学生运用等差数列模型解决问题的能力.

用函数观点去看等差数列，可以帮助学生理解等差数列的本质：是在特殊定义域上的一次函数，通项公式就是这个特殊函数的解析式．2.2节例3和探究题注意到了等差数列与一次函数（包括代数式和图象）之间的联系.

另外，有关等差数列的概念、通项公式的推导都是由归纳得到，对培养学生观察分析、探索归纳能力提供了很好的素材.

4．对等差数列前n项和公式的推导及应用，体现了从特殊到一般、一般到特殊的思想.

教科书是从求1+2+3+?+100的高斯算法出发，并以1+2+3+?+n求和为过渡，目的是为了让学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律.教科书给出的探究题就是为了让学生在前面基础上，把数列1+2+3+?+n内在的这种规律性推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和思路.2.3节的例1突出了等差数列求和公式的实际应用；例3强调了等差数列前n项和公式与二次函数之间的关系，探究题是为了进一步认识等差数列前n项和公式是一个常数项为0的二次函数；例4是对等差数列前n项和公式性质（二次型）的一个应用.从特殊到一般，可以帮助学生获取一般等差数列求和思路；从一般到特殊，可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题，使其来于实际，用于实际.

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5.与等差数列类似，等比数列概念的引入也是通过日常生活中的实例抽象出了等比数列的模型.2.4节所列的4个背景实例和所传达的思想为：

（1）细胞分裂模型

生命科学中的数列模型，类似的有人口增长的模型. （2）《庄子》中“一尺之棰”的论述 中国古代学者的极限思想. （3）计算机病毒的传播

计算机科学中的数列模型，计算机病毒的危害，“指数爆炸”的例子. （4）储蓄中复利的计算 日常经济生活中的数列模型.

这4个实例，既让学生感受到等比数列也是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数学模型的过程.紧跟在实例之后的“观察”栏目，是为了给学生一定的思考和探索的空间，让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识到等比数列的特性.等比数列的通项公式类比等差数列通项公式的得出过程，用不完全归纳法得出.

6.“为什么要求等比数列的前n项和呢”？2.5节开篇用诺贝尔奖金的计算问题——从奖金开始发放的第一年（1897）到今年（2004）所发放奖金的总额来引入了这个问题.等比数列前n项和公式的推导采用了“错位相减”的方法，其中体现了等比数列与指数函数、方程、程序框图中的循环结构等内容的前后联系.本节课后有关“九连环”的阅读与思考，进一步体现了从具体问题中抽象出数列模型，借助数列的相关知识解决问题的思想.

三、编写中考虑的几个问题

1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点 数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型.教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型.通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题.教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：

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