2012年江苏省数学夏令营测试卷

2012年江苏省数学夏令营

测试卷

（7月20日14:30至17:00）

一．填空题：本大题共5小题，每小题8分，共40分． 1．若关于x的方程【解】k?x?kx2有四个不同的实根，则k的取值范围为 ． x?41． 4显然x?0是方程的一根． 1?x(x?4)?0，于是当且仅当k?0时原方程有唯一正根； k1112当x?0时，??x(x?4)?(x?2)?4，于是当且仅当??(?4,0)，即k?时，原方kk4当x?0时，程有两个负根．

2．直角△ABC的内切圆O切斜边AB于D，若AD?3，BD?4，则△ABC的面积为 ． 【解】12． 设内切圆半径为r，则AC?AD?r，BC?BD?r，AB?AD?BD． 222代入AC?BC?AB，整理得S?p?r?(AD?BD?r)?r?AD?BD?12．

3．方程17sin(x??4)?sin2x?9的解集为 ．

【解】?xx?k??(?1)k????6???,k?Z?． 4?1?1，即sin(x?)?． 242令sin(x??4)?t，则2t2?17t?8?0．由于t?[?1,1]，故t?k其解为：x?k??(?1)?

?6??4，k?Z． 4．在一个袋子里放着黑、白各两个围棋子，现从袋子中取棋子，每次取一颗，若取到白子则留下，若取到黑子，则必须放回去一颗白子，若手上没有可放回的白子，则游戏结束．则能顺利取完所有棋子的概率为 ． 【解】7． 18111??； 2361222???． 2339能成功取完所有棋子的情况分为两类： ①两次连续取到白子．其发生的概率为P1?②第一次取到白子，第二次取到黑子．在这种情况下，第三次必须取到白子（注意第三次取棋子时总棋子数为三颗！）．其发生的概率为P2?故所求概率为P1?P2?

5．在四面体A?BCD中，平行于AB、CD的平面截棱BD所成的距离之比为k，则该平面截四面体所成的两部分的体积之比为 ．

127??． 6918k3?3k2【解】． 3k?1如图把四面体补成三棱柱，设四面体A?BCD的体积为V． 平面PMNS平行于AB、CD，该平面把四面体A?BCD分成两部分，设含有点B的部分体积为V1，含有点D的部分体积为V2．则V1?V2?V．四棱锥A?CDFE的体积为2V，三棱柱AEF?BCD的体积为3V． 设BP:PD?k，则AR:AE?BP:BD?k:(k?1) 从而VA?MNRQ:VA?DCEF?k:?k?1?， 33VARQ?BSP:VAEF?BCD?k2:?k?1?． 于是V1?VARQ?BSP?VA?MNRQ?2k3?3k2?k?1?3V， V2?V?V1?

3k?1?k?1?3V．

二．解答题：本大题共4小题，每小题40分，共160分． 1．设数列?an?、?bn?满足：a1?1，b1?2，an?求证：a2012?5． 【证】由bn?bn?1an?1，bn?．

bn?1?bnan?1?anan?1得an?1bn?anbn?an?1． an?1?an(an?1)(bn?1)(a?1)(bn?1)．同理 bn?1?1?n． bnan1?bn?an11??． (an?1)(bn?1)an?1bn?1于是 an?1?1?从而 1an?1?1bn?1?1?而 111111??为常数，所以?? an?1bn?16a1?1b1?161111???． an?1bn?166显然bn?1?0，从而所以an?1?6，即an?5．所以a2012?5．

2．圆内接四边形ABCD两组对边互不平行，BA,CD延长线交于点E，对角线AC,BD交于点F，直线EF交BC于点N，M为线段BC中点．求证：A,D,N,M四点共圆． 【证】设点P为AD、BC延长线的交点． EABNCDEABPCD???1．有梅涅劳斯定理：???1． ABNCDEABPCDEBNBP?两式联立得：，即NB?PC?CN?PB． NCPC注意到M为BC中点，所以 由萨瓦定理： 0?NB?PC?CN?PB?PC?(PB?PN)?PB?(PN?PC) ?2PC?PB?PN?(PC?PB)?2PC?PB?2PN?PM． 所以PB?PC?PM?PN．又A,B,C,D四点共圆，所以PB?PC?PA?PD． 从而PM?PN?PA?PD，所以A,D,N,M四点共圆． EADFBMNCP