初中数学“课题学习”案例分析

初中数学“课题学习”案例分析

案例一：会徽中的数学

本课题是建立在学生已有生活经验基础上的数学活动，也可看作数学与艺术设计相结合的项目，可以让学生在活动中认识、理解、学习数学，学会在生活中应用数学。课题以各种会徽为主线，让学生观察、自主探究、合作学习，有较强的实践性和趣味性，能引起学生参与课题的积极性；且内容比较容易，有较好的延展性，适合不同学生参与。课题实施过程中，学生充分运用解三角形、相似三角形、勾股定理等知识解决问题，可作为该部分知识内容的深化与拓展。

问题一：

如图是第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1?A1A2?A2A3???A8A9?1,你能计算出图中其它8条线段的长度吗？填在下面的表格中。 … … OA2 2 OA3 3 OA4 4 OA5 5 OA6 6 OA7 7 OA8 8 OA9 9 OAn n 问题二：求出了每条线的长度，那你能求出?A1OA2,?A2OA3,?,?A8OA9这些角的度数吗？（提示：利用锐角三角函数）

（1）写出?AnOAn?1的正切表示式（1≤n≤8，且n为整数） （2）求?A3OA4的度数

（3）如果?AnOAn?1是第一个小于20°的角，那么它是第几个直角三角形的内角？

问题三：请你再仔细观察与思考图中蕴藏的规律，你还能提出什么数学问题，并得出哪些结论？

(1)若要使OAn的长度等于OA2的2倍，则按这种方法能否得到？要做几个直角三角形？

(2)如果记?OA…，请用含有n（n是正整数）1A2面积为S1,?OA2A3面积为S2，

的式子表示Sn.

(3)按照如图所示的方法不断作直角三角形，当n?100时，所作的直角三角形中，有几个三角形的面积是有理数？有几个三角形的面积是整数？

问题四：你能根据下左图形解决这个问题吗？对于任意正实数a、b，因为

?a?b?2?0，所以a?2ab?b?0，只有当a?b时，等号成立。在a?b?2ab（a,b均为正实数）中，若ab为定值p，则a?b?2p，只有当a?b时，a?b有最小值2p

1有最小值，最小值是多少？ m练习2：如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A,B不重

练习1：若m?0，m取何值时，m?合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a,DB=b.试根据图形验证a?b?2ab，并指出等号成立的条件。

练习3：如图，已知A(-3,0),B(0，-4)，P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于C,PD⊥y轴于点D。求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状。

问题五：2002年世界数学大会在北京召开，这届大会的会标的主体图案是经过艺术处理的弦图，三国时期吴国的数学家赵爽借助这个图形证明了勾股定理，你能证明吗？

练习4：如图，在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，求S1?S2?S3?S4.

练习5：现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图，请将它分割成6块，再拼合成一个正方形（要求先画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应的数据）。

由中国记协英文缩写ACJA中的CJ组成心形图案，象征着党的新闻事业深入人心。AA组成两个向上的三角形，象征新闻导向正确、公正。 图案中心的眼睛，象征新闻工作者是时代的观察者、记录者，新闻事业是党和人民的耳目喉舌。整个图案表现了中国记协在新闻事业的发展中所起到的团结和凝聚作用。

问题六：中国记协的心形图形，可以简单的抽象下面的数学图形，如图，点G是正△ABC的中心，DE过点G且DE∥BC交AB、AC于点D、E。请你探究点D在线段AB上的什么位置？并证明你的结论。

讲一个小故事。美国数学会是一个在国际上甚有影响的数学组织，它有19500名会员。1942年美国数学会所办杂志《美国数学月刊》上刊载了美国数学会会徽，圆圈里面是一个正20面体，对于它的权威性似乎无人怀疑。

五十多年以后，美国华盛顿大学的55岁的布兰高·格林鲍华（南斯拉夫出生的美国人）从民主德国的邮票上发现其正20面体图案有误，在他进而想到美国数学会会徽图案时，他自己惊呆了——那也是一个错误的图案。注意下图中的正三角形有箭头的那条边，应与图中虚线平行才正确，而会徽上的这两条线却不平行（如今此图案已改正）。

案例二：美妙的镶嵌

本课题是建立在学生已有生活经验基础上的数学活动，也可看作数学与艺术设计相结合的项目，可以让学生在活动中了解、理解和学习数学，学会在生活中应用数学。课题从不同形状的瓷砖引入，需要学生动手实验操作和艺术设计，具有强烈的实践性和趣味性，能使学生积极参与课题；且内容相对简单，有良好的延展性，适合不同的学生参加。另外，在对密铺原理的探究过程中，学生要经历观察、实验、归纳、推断等学习活动，体验研究数学问题的一般方法。课题实施过程中，学生充分运用多边形性质、密铺原理等知识，可作为该部分内容的深化与拓展。选择该课题作为第一个案例，一方面是因为课题内容比较常见，能与常规教学紧密结合，另外是希望通过本案例的详细分析来展现课题教学设计基本流程具体环节的操作。

【教学过程】

（一）抛砖引玉，情境导航

问题一：观察不同的地砖，它们分别是由什么形状的图形组成的？

（学生回答：十二边形，六边形，正十二边形和正方形和正六边形，正三角形和正六边形，正三角形，正方形，正六边形）

问题二：这些地砖有什么共同点？ 平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:

用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.

密铺的条件：无空隙、不重叠铺成一片。 （二） 抽丝剥茧，探索新知 问题三：只用一种图形，哪些图形能密铺？哪些图形不能密铺呢？为什么？ 探究一：用正三角形（形状、大小完全相同的任意三角形）能否密铺？ 结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。

探究二：用正方形（形状、大小完全相同的任意四边形）能否密铺？ 结论：形状、大小完全相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。 问题四：你得到了什么结论？

结论1：能密铺的图形在一个拼接点处的特点：各角之和等于360o

问题五：正五边形能密铺吗？正六边形呢？还有什么图形可以密铺呢？ （学生回答：不能，能）

问题六：你发现了什么规律？

（学生回答:正多边形可以密铺的条件：每个内角都能被360?整除；用一种正多边形密铺，只能是正三角形、正方形、正六边形）

练一练：1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ） A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形

2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是（ ）

A. 3 B.4 C.5 D.6

3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6 （三） 仔细思考，再探新知

问题七：用一种图形不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?我们先讨论用两种正多边形进行密铺。

探究三：用正三角形和正方形进行密铺，大家试试看。

设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角，则

?m?3。记作（3,3,3,4,4）注意：同一个组合会有不同的镶60?m?90?n?360????n?2嵌结果。

探究四：还有那两种正多边形可以进行密铺？

（学生回答：正三角形和正六边形，记作（3,3,3,3,6），（3,3,6,6）；正方形和正八边形，记作（4,8,8）等）

问题八：如果用三种正多边形进行密铺，哪三种可以呢？同学们课后自己探究。

问题九：你能创造一个自己的个性地砖吗？