数理统计第二章

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(i) 若?已知,考虑?2的两个估计量:

??21n2?1?n?1?(Xi??),??21n0?i?1n?(Xi??)2, i?1求这两个估计量的均方误差,并比较它们的大小; (ii)若?未知,考虑?2的两个估计量:

??2?1?1n2n?1?(Xi?X),??21n0??(Xi?X)2, i?1ni?1求这两个估计量的均方误差, 并比较它们的大小.

解:(I)先求??20的均方误差,由于

E(??20)??2,所MS22?2(??E0)?D(??0)?1n2n2D[?(Xi??)], i?1又

1n222n?2?(Xi??)～?(n),故nD[1(Xi??)2]?2n?4,

i?1?2?(Xi??)]?2n,即得D[i?1?i?1从而知22?4MSE?2(??0)?n,

或MSE?)?D(??2?2(?200)?1nn2D[?(Xi??)2] i?1 ?1n2?nD(X??)2?2?4i, i?1n(这里用到了:若X～N(?,?2),则E(X??)k???(k?1)!!?k,k为偶数，0，

? k为奇数从而D(X??)2?2?4)

再求??2

?1的均方误差,

MSE?21n?2(??1)?E[n?1?(X2i??)??2]2i?11n

?2222(n?1)2E{?(Xi??)?n???]}i?1 - 13 -

以

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n12n?1424?{D[(X??)]??}??, ?i22(n?1)(n?1)i?122???易见对任意的n,总有MSE?(?)?MSE(?10), ?221n2???k思考题：考虑?，计算MSE?2(?(Xi??)2（k为整数）)并找出k为何值?n?ki?12k时均方误差最小.

22???2（II）先求?1的均方误差,由于E(??1)??,所以 n1?)?D(??)?MSE?2(?D[?(Xi?X)2] 2(n?1)i?12?12?1又

1?2?(Xi?1nni?X)～?(n?1),故D[221?2?(Xi?1ni?X)2]?2(n?1),

即得D[?(Xi?X)2]?2(n?1)?4,

i?12?4?)?从而知MSE?2(?,

n?12?12?0再求?的均方误差,

1n?)?E[?(Xi?X)2??2]2MSE?2(?ni?120?1E{?(Xi?X)2?(n?1)?2??2]2}2ni?1n

n12n?1?2{D[?(Xi?X)2]??4}?2?4, nni?122???0易见对任意的n，总有MSE?(?(?). 1)?MSE?221n2???k思考题：考虑?，计算MSE?2(?(Xi?X)2（k为整数）)并找出k为何值时?n?ki?12k均方误差最小.

均方误差可分解成两部分:

?)?E(??(X)??)2?Var(??)?[E(??)-?]2 MSE?(?

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?)-??0，若偏差b(?)?E(?那么均方误差就等于方差.这样的估计量叫做无偏估计

量.因此有如下义.

????(X,X,?,X)为?的估计量,若对于 定义 设?为待估参数,参数空间为?,?12n任意???,总有

?)?? E?(?????(X,X,?,X)为?的无偏估计量,或者说?????(X,X,?,X)作为?的估计量则称?12n12nlimb(?)?0，称??是?的渐近无偏估计. 具有无偏性.又若n?? 对于不同的无偏估计量的均方误差的比较，就是比较其方差.因此有如下定义：

????（X,?,X)和???（X,?,X)为?的两个无偏估计，若对于任意 定义 设?1n1n~~?)?Var(??)?Var(????，总有Var(?).且至少有一个???，使得Var(?)，我们称??比~?更有效.

~~例2.2.2 设总体X的均值为?，方差为?2，X1,?,Xn是来自该总体的简单随机样本.则

（i）样本均值X为总体均值?的无偏估计； （ii）样本均值S2为总体均值?2的无偏估计;

(iii)对于任意满足?ai?1的一组实数a1,a2,?,an,?aiXi都是总体均值?的无偏

i?1i?1nn估计,且此类无偏估计中, 样本均值X的方差最小. 思考题:样本标准差S是否是总体标准差?的无偏估计?

例2.2.3 设X1,?,Xn是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，求解下面问题

1n1n22 (i)?的两个常用估计量S??(Xi?X),S?(Xi?X)2中哪个是无偏估?n?1i?1ni?122n - 15 -

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计?

(ii) 若T?aX2?bS2为?2的无偏估计,确定a,b; 解:(i)略

(ii) E(T)?aE(X2)?bE(S2)?a(?2??2)?b?2?a?2?(b?)?2， 由无偏性定义知 对??,?2，有 a?2?(b?)?2??2 从而得a?1,b??。

注:对估计而言，无偏性的要求是否一定要遵守以及无偏性的实际价值如何，这还必须结合具体问题的实际情况去考察.无偏性体现了一种频率思想，只有在大量重复使用时，无偏性才会体现其价值.例如，要估计某批产品的合格品率?，从中抽取n件产品进行检验，其中合格品件数为X，那么X/n是?的无偏估计.然而对一次具体的观察值x而言，x/n与?丝毫不差几乎是不可能的，但凭此具体的观察值x,其接近程度无法知晓，此时无偏性显得没有多大意义.如果问题改为某一工厂每天都对其生产的产品进行抽检，若假定生产过程是稳定的，那估计的无偏性要求便是合理的，比如每天都用X/n估计?，对一天而言，该估计可能偏大也可能偏小，但在一段较长时期内，把各天的估计再进行平均，那么正负偏差就会在很大程度上得以抵消，其平均值会在?周围作微小波动.总之我们不要把无偏性要求看得过重，无偏性是大量重复使用同一估计量时应尽量满足的要求，但根据现有数据进行一次性估计时不必要求什么无偏性. 二、相合性、渐近正态性

????(X,?,X)估计?，其接近程度估计量是与相本容量有关的,假设用统计量?n1n1nan1nan（当然这里首先要明确接近程度的衡量标准，比如均方误差）一般来说与n与?都

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