2018年北京市东城高三一模理科数学试题

13.【答案】a=(1,1)，b=(1,2)，c=(2,1)（答案不唯一） 【解析】

b=(1,2)，c=(2,1),则a?b=3，a?c=3，设a=(1,1)，所以a?b=a?c但b?c，所以若a?b=a?c，则b=c为假命题。

14.【答案】33；①③④ 4【解析】内接正n边形可拆解为n个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为

12?2?.每个三角形的面积为sin，所以正n边形面积为 n2nn2?32?3333f(n)?sin.f(3)?sin=?=，①正确；

2n23224正n边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；

随着n的值增大，正n边形面积也越来越大，所以③正确； 当且仅当n?3时，有2f(3)?f(6)，由几何图形可知其他情况下都有

f(2n)?2f(n)，所以④正确.

四、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明. 17. 【解析】

(Ⅰ)由题意得：f(x)?sin2x?cos2x?2sin(2x?),

4??T?2??? 2???3?????x?0,2x????,? (Ⅱ)当?2?时，4?44???当2x??4??2时,即x??3?时,f(x)取得最大值2. 8当2x???时,即x?0时,f(x)取得最小值?1.

44???f(x)所以在?0,2?上的最大值和最小值分别是2和?1.

??

?

18. 【解析】

（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学

生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为（Ⅱ）由题可知,?的可能取值为0,1,2

2C6151P(??0)?2?=

C104539. 10011C6?C4248P(??1)??? 2C1045152C462P(??2)?2?=

C104515

? P(?) 0 1 31 8 152 2 151824E(?)?0??1??2??

315155（Ⅲ）a?b

17.【解析】

（Ⅰ）由图1知PD?AD,PC?CB

由图2知C,D重合于点O.则PO?AO,PO?BO

QAOIBO?OAO?面AOBBO?面AOB

?PO?面AOB,又QAB?面AOB?PO?AB

（Ⅱ）由题知OP?1OA?OB?AB?2?ABO为等边三角形

过O取OF?1 延长作OF?AO建立如图空间直角坐标系

则O?0,0,0?，A?2,0,0?,P?0,0,1?，B?1,3,0?

uuuruuur?3,1 易知面POA的法向量为OF??0,1,0?BP??1，??设BP与平面POA 夹角为?

uuuruuur则sin??cosOF,BPuuuruuurOF?BP?315?uuu?ruuur? 51?5OF?BP