(word完整版)高三精选立体几何大题30题(含详细解答)(2)

立体几何大题

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论． （3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

C

C D A B

A B

第1题图 第1题图

2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。 （Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积； （Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.

3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值. A1 C1

B1

A M

C

B

第3题图

4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．

5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点. （Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.

6．在正方体ABCD—A

1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。 （I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；

（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。 D1 C1

A1

B1

P D C

A

M

B N 第6题图

7．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN. （Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小； （Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

8．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°. BC=CC1=a，AC=2a. （I）求证：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.

9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E (Ⅰ)求证：AC1⊥平面B1D1E； (Ⅱ)求三棱锥C1－B1D1E1的体积；

(Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小

10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60 ．（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．

D E C D

E

C

B A A B

第10题

11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，D∈AB，∠A1DE＝90°.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.

（

12．如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影 恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。（I）求证：BC⊥平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离

C1

（III）求二面角B—AA1—C的正切值 A1

B1

C

D

A B

13．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.

14.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD?2a，M、N分别是AD、PB的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。

15．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA31=

32,D是CB延长线上一点，且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小； （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.

16．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1，BC=BB1=1，D为BC上一点，且满足AD⊥C1D. （I）求证：截面ADC1⊥侧面BC1；（II）求二面角C—AC1—D的正弦值； （III）求直线A1B与截面ADC1距离.

17．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且

∠ADC?arcsin55，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离。 PADBC

18．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，BC?BA?12AD?m，VA⊥平面ABCD。 （1）求证：VC⊥CD。（2）若VA?2m，求CV与平面VAD所成的角。

19．如图，在正四棱柱ABCD—A11B1C1D1中，AA1=2AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1； （Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.

20．如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点. （Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若二面角P—CD—B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离.

21．如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°. （1）求此三棱柱的高；（2）求二面角C—AF—B的大小.

22．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x． （1）当x为何值时，三棱锥B1?BEF的体积最大？

（2）求三棱椎B1?BEF的体积最大时，二面角B1?EF?B的正切值； （3）（理科做）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．

23． 已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=

13GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为83. （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离； （Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求PFFC的值.

24．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1、BB1的中点，求： （I）CM与D1N所成角的余弦值； （II）异面直线CM与D1N的距离．