2015《创新大课堂》高三人教版数学（理）一轮复习课时作业：第10章 第3节 二项式定理

课时作业

一、选择题

?22?5

1．(2013·江西高考)?x－x3?展开式中的常数项为

??

( )

A．80 B．－80 C．40

D．－40

C [展开式的通项为Tr5x2(5－r)

＋1＝Cr(－2)rx－3r ＝Cr5(－2)rx

10－5r

.

令10－5r＝0，得r＝2，

所以T22＋1＝C25(－2)＝40.故选C.]

2．(2014·东城模拟)(x－2y)8的展开式中，x6y2项的系数是

( A．56 B．－56 C．28

D．－28

A [由二项式定理通项公式得，所求系数为C28(－2)2＝56.]

3．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为

( A．5 B．3 C．2

D．0

A [常数项为C22×22×C05＝4，x7系数为C02×C55(－1)5＝－1，

因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.]

?

4．(2012·蚌埠模拟)在??x＋1?3?24?的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有?

x?( A．3项 B．4项 C．5项

D．6项

C [TrCr24(x)24－r?1?＋1＝???r

＝Cr?3x??

24x12－5r6， 故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项．]

)

)

)

5．(2014·深圳二调)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是

( )

A．10 C．20

B．15 D．25

2222

C [选C.含x2项的系数是C2＋C3＋C4＋C5＝1＋3＋6＋10＝20.]

?21?n

6．在二项式?x－x?的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项

??系数的和为

( )

A．32 C．0

B．－32 D．1

C [依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5. ?21?5

因此，该二项展开式中的各项系数的和等于?1－1?＝0.]

??二、填空题

2

?a?8

7．(2014·山西诊断)若?x－x?的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数

??

之和为________．

2

?a?88－r2r8－2r

解析 ?x－x?的展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－a2)rx－r＝Cr，令88x8(－a)x??28a2??24－2r＝0，解得r＝4，所以C4所以a2＝2，故?x－x?＝(x－x)8.8(－a)＝1 120，??

令x＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1. 答案 1

1?1?n

8．若?x＋x?的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2的

??系数为________． 解析 由

r

26

Cn＝Cn可知

?1?88－

n＝8，所以?x＋x?的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8x??

?1?r8－2r,

·?x?＝Cr 8x??

1

当8－2r＝－2时，r＝5，所以x2的系数为C58＝56. 答案 56

1?6?9．(2014·深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式?x－3x?展开式的常数

??项，则a3a7＝________．

1?61?r1?r?r6－r?r??－3x?＝C6·?－3?·解析 ?x－3x?的展开式的通项是Tr＋1＝C6·(x)·x3

??????1?61?23r3r?2??－3?＝－2.令3－2＝0得r＝2，因此?x－3x?的展开式中的常数式是C6·

????225552?5???3，即有a5＝3，a3a7＝(a5)＝?3?＝9. 25

答案 9 三、解答题

1?n?

10．若?3x＋?的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次

x??幂的项．

解析 令x＝1，则22n＝1 024，解得n＝5. 10－3r

21?rr5－r?r5－r

Tr＋1＝C5(3x)??＝C5·3 ·x，

?x?10－3r

含x的整数次幂即使2为整数， r＝0、r＝2、r＝4，有3项， 即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1. 11．二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．

解析 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.

1299

(1)二项式系数之和为C09＋C9＋C9＋…＋C9＝2.

(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9

＝－1.

(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，

令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 59－1

将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝2， 即为所有奇数项系数之和．

1?n?x＋??的展开式中，前三项系数成等差数列． 12．已知?4?2x??(1)求n；

(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x项的系数．

112

解析 (1)∵前三项系数1，2C1，n

4Cn成等差数列． 1112

∴2·2Cn＝1＋4Cn，即n2－9n＋8＝0. ∴n＝8或n＝1(舍)． (2)由n＝8知其通项公式＝0，1，…，8.

2∴第三项的二项式系数为C8＝28.

Tr＋1＝Cr8·(x)

8－r

?4?r?1?r31?＝??·Cr

·?1 ·x4－r，r824??x??2

?1?2

第三项系数为?2?·C28＝7. ??3

(3)令4－4r＝1，得r＝4， ?1?4435∴含x项的系数为?2?·C8＝8. ??