中考数学专题讲解 知识点35 相似、位似及其应用2019

解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠0AC=

12∠BAC=30°。…2分 在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=23，……4分 （2）易得，BC=63，BD=43.……5分 由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM. ∵AM=DM，

∴△DFM≌△AGM， ∴DF=AG.

由DE∥AC.得△BFE∽△BGA， ∴

EFBEBDAG=AB=BC,…7分 ∴

EFDF=EFAG=BDBC=4363=23,…8分 (3）∵∠CPG=60°，过C,P,G作外接圆，圆心为Q ∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。

①当⊙Q与DE相切时，如图1，过Q点作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连接QC，QG。

H

设⊙Q的半径QP=r，则QH=∴CG=

114r，r+r=23，解得r=2233，

433×3=4,AG=2. 易知△DFM∽△AGM，可得

DMDF4DM4==,则=。 AMAG3AD7∴DM=

163.…9分 7.

②当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K.

BDQC设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=33-r.在Rt△EQK中，12+（33-r）2= r2，解得r=

FEKMGA

143， 9∴CG=14314×3= 93.

易知△DFM∽△AGM，可得DM=143.……10分 53……11分

③当⊙Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=4

BD(P)ECA(M,G)

∴综上所述，当DM=

163143或

（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO． （2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

ADOBFC(E)图1BF图2DGECBF图3DEGCAA

（第24题图）

解：（1）由旋转的性质得：CD＝CF，∠DCF＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD， ∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD． ∴∠DCF＝∠ADC． 在△ADO和△FCO中

??AOD??FOC，? ??ADO??FCO，?AD?FC，?∴△ADO≌△FCO．

∴DO＝CO．

∴BD＝CD＝2 DO．

（2）①如答图1，连结BF，分别过点D，F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M． ∴∠DNE＝∠EMF＝90°．

又∵∠NDE＝∠MEF，DE＝EF， ∴△DNE≌△EMF．∴DN＝EM．

又∵BD＝72，∠ABC＝45°，∴DN＝EM＝7， ∴BM＝BC―ME―EC＝5，∴MF＝NE＝NC－EC＝5． ∴BF＝52．

∵点D，G分别为AB，AF的中点． ∴DG＝

15BF＝2． 22ADGBMNECF答图1

②过点D作DH⊥BC于点H．

∵AD＝6BD，AB＝142，∴BD＝22．

Ⅰ）当∠DEG＝90°时，有如答图2，3两种情况，设CE＝t． ∵∠DEF＝90°，∠＝DEG°， ∴点E在线段AF上．

∴BH＝DH＝2，BE＝14－t，HE＝BE－BH＝12－t． ∵△DHE∽△ECA，∴

DHHE212?t＝，即＝，解得t＝6±22， ECtCA14∴CE＝6＋22或CE＝6－22．

AADBHFEGCDBHFGEC答图2答图3

Ⅱ）当DG∥BC时，如答图4．

过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN＝NA，连结FM． 则NC＝DH＝2，MC＝10．

设GN＝t，则FM＝2t，BK＝14－2t．