当前位置:首页 > 人教版高中数学选修4-4 模块综合检测卷(含答案解析)
?3,3?. ?22?
(2)曲线C1极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π,因此点A的极坐标为(2sin α,α),点B的极坐标为(23cos α,α).
5ππ
所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin??α-??,当α=时|AB|取得最大值,最大值
63????为4.
π
19.(本小题满分14分)已知直线l经过P(1,1),倾斜角α=. 6(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求点P到A,B两点的距离之积. π,6
19.解析:(1)直线的参数方程为
π
y=1+tsin ,6
???
x=1+tcos
?x=1+23t,即?(t为参数).
1
?y=1+2t?x=1+23t,
3?2?1?2?(2)把直线?代入x+y=4得1+t+?1+2t?=4, 2??1
?y=1+2t2
2
∴t2+(3+1)t-2=0,
∴t1t2=-2,故点P到A,B两点的距离之积为2.
20.(本小题满分14分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程. 20.解析:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2. 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.
??ρ=2,π由?得:ρ=2,θ=±.
3??ρ=4cos θ
ππ
故圆C1与圆C2交点的坐标为?2,?,?2,-?.
3??3??
注:极坐标系下点的表示不唯一.
??x=ρcos θ,
(2)解法一 由 ?得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,3),(1,-3).
?y=ρsin θ???x=1,
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为?(t为参数,-3≤t≤3).
?y=t?
??x=ρcos θ,11
解法二 将x=1代入?得ρcos θ=1,从而ρ=?y=·sin θ
cos θcos θ?y=ρsin θ?
=tan θ,
??x=1,
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为?
?y=tan θ?
?θ为参数,-π≤θ≤π?.
33??
??x=2cos φ,
21.(本小题满分14分)已知曲线C1的参数方程是?(φ为参数),以坐标原
??y=3sin φ
点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCDπ
的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为?2,?.
3??
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 21.解析:(1)由已知可得 A?2cos
?
ππ
,2sin ?, 33?
ππππ
B?2cos?+?,2sin?+??, ??32??32??ππ
C?2cos?+π?,2sin?+π??, ??3??3??D?2cos?
?
π3π?π3π
,2sin?+??, +2?2???3?3
即A(1, 3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1). (2)设P(2cos φ,3sin φ),
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
?
22.(本小题满分14分)分别在下列两种情况下,把参数方程?1
y=?2(e-e
t
1-
x=(et+et)cos θ,2
-t
)sin θ
化为普通方程.
(1)θ为参数,t为常数; (2)t为参数,θ为常数.
22.解析:(1)当t=0时,y=0,x= cos θ, 即|x|≤1,且y=0;
x
当t≠0时,cos θ=,
1t-t(e+e)2y
sin θ=,而x2+y2=1,
1t-t(e-e)2即
+=1.
1t-t21t-t2(e+e)(e-e)44
x2
y2
(2)当θ=kπ,k∈Z时, 1-
y=0,x=±(et+et),
2即|x|≥1,且y=0;
π
当θ=kπ+,k∈Z时,x=0,
21-
y=±(et-et),即x=0;
2e+e?kπ
当θ≠,k∈Z时,有?2
?e-e
tt
2x=,cos θ
2y-t=,sin θ
-t
?即??2e
t
2et=
-t
得
2x2y=-,cos θsin θ
2x2y
+,cos θsin θ
2x2y??2x2y??+-2e·2e=cos θsin θcos θsin θ, ????
-t
x2y2
即2-2=1. cosθsinθ
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