2019届北京市海淀区高三第二学期期中练习（一模）数学（理）试题（解析版）

由又点为又因为所以所以

且中点，所以分别为, 共面于平面

,

,

, 中点,所以

,

, 中点, 所以

,

因为,分别为

平面平面所以

, , 平面

.

方法二：在直三棱柱又因为

,

中，平面

以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

由题意得所以设平面

,

的法向量为

,, ，则

.

，即

令于是又因为所以又因为所以

, ,

，得

,

,

,

平面平面

， .

（2）方法一：在直棱柱因为又因为且所以

平面平面又所以又又且所以又

平面平面

, 平面

.

，所以， ,

, ，所以，四边形 , ，所以，

,

,

,

, ,

中，平面,

为正方形,

所以平面方法二：设平面

的法向量为，,

，即

令于是

，得

,

,

即

，所以平面

与平面

平面,

,

.

,

（3）设直线设

所成角为，则，则

,

,

所以 ,

解得或（舍）,

的中点，

.

所以点存在，即【点睛】

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 12．已知函数（1）求曲线（2）当

在点

时，求证：函数

.

处的切线方程； 存在极小值；

（3）请直接写出函数【答案】（1）当

且

的零点个数．

或

时，函数

有一个零点 ；

；（2）证明见解析；（3）当时，函数

有两个零点.

【解析】(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)

的零点个数． 【详解】 （1）因为

所以切点的坐标为 因为

所以切线的斜率所以切线的方程为（2）方法一： 令

因为

且

，

，

的定义域为

，说明

有可变零点即可；(3)由题意可得函数

所以从而得到所以所以所以

在

，

在在

，

上恒成立

上单调递增且

上递减，在

递增；

，

时，取得极小值，问题得证

方法二： 因为当当当所以所以（3）当当

且时， 时， 时， 在

上递减，在

递增；

，所以，所以

时，函数

或

取得极小值，问题得证. 时，函数

有一个零点 ；

时，函数有两个零点.

【点睛】

本题考查函数的导数的运用：求切线的方程，确定函数的极值，考查函数的零点个数判断，以及分类讨论思想方法，属于中档题． 13．已知抛物线

，其中

．点

在的焦点的右侧，且到的准线

两点，直线

与

的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的直线

交于点，经过点且与直线

垂直的直线交轴于点.

（1）求抛物线的方程和的坐标； （2）判断直线【答案】（1）

与直线，

的位置关系，并说明理由． ；（2）平行.

【解析】(1)由到的准线的距离是与距离的3倍可得p值，从而得到抛物线的方程和的坐标； (2)方法一：设直线

的方程为

，对m分类讨论，分别计算二者的斜率，即的斜率不存在时，在考虑直线

的斜率存在，设直

，即可

可作出判断.方法二：先考虑直线线

的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出