新人教版九年级上册全册教案

第二十一章 二次根式

21．1 二次根式

第一课时

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=

ABC3，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． x问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，． 3） 问题2：由勾股定理得AB=10 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知

4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它6称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

很明显3、10、 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、0、42、-2、x1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、41、x2、1． x?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，? 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥

3x?1才能有意义．

1 31时，3x?1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+1在实数范围内有意义？ x?111在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1≠0． x?1x?1?2x?3?0 解：依题意，得?

?x?1?03 由①得：x≥-

2 由②得：x≠-1

31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1x 例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求的值．(答案:2)

y2(2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

5 当x≥- 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

21.1 二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

1272

）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）（2

=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）2=0，所以

3232（a）2=a（a≥0） 例1 计算

325272

） 2．（35）2 3．（） 4．（）

226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

1．（解：（323） =，（35）2 =322（5）2=3225=45，

2252572(7)27（）=，（）=?． 262246 三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2?(53)2

四、应用拓展

例2 计算

1．（x?1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a2?2a?1）2 4．（4x2?12x9?）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）． 六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

2

2

21.1 二次根式(3)

第三课时

教学目标

理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键

1．重点：a2＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立． 教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知

（学生活动）填空：

122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______． 3712323122=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

37103710 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

因此，一般地：a2=a（a≥0） 例1 化简 22 （1）9 （2）(?4) （3）25 （4）(?3) 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）?去化简．

2解：（1）9=32=3 （2）(?4)=42=4

2（3）25=52=5 （4）(?3)=32=3

三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展

例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？

分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”

2中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(?a)，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为a2=a，所以a≥0； （2）因为a=-a，所以a≤0；

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