高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析

【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】

【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量f(x?1)?f(x)总是下降，只需利用函数的单调性证明f(x?1)?f(x)单调递减即可；⑵中，根据题意，f?6??0.85建立方程求a的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当x?7时，f?x?1??f?x??0.4，(x?3)(x?4)?0，

(x?3)(x?4)函数y?(x?3)(x?4)单调递增，故f?x?1??f?x?单调递减， 所以当x?7时，掌握程度的增加量f(x?1)?f(x)总是下降. ⑵解：由题意知0.1?15lnaa?0.85,整理可得?e0.05, a?6a?6e0.05所以a?0.05?6?20.50?6?123.0,123.0??121,127?.由此可知，该学科为乙科.

e?1

【此处有视频，请去附件查看】

17.已知函数f（x）＝cos（2x?2???）+2sin（?x）sin（?x）． 344（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数y＝f（x）的对称轴方程，并求函数f（x）在区间[?和最小值． 【答案】（Ⅰ）[kπ?【解析】

【详解】（Ⅰ）f（x）＝cos（2x?＝cos2xcos

?12，

?]上的最大值22??3，kπ?]，k∈Z； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为． 362?2??）+2sin（?x）sin（?x） 344??2?2??sin2xsin?2cos（?x）sin（?x） 3344?1133??cos2x?sin2x+sin（?2x）??cos2x?sin2x+cos2x

22222?13?cos2x?sin2x＝cos（2x?）， 223由2kπ﹣π≤2x?

?3

?2kπ，k∈Z得kπ??2??x≤kπ?，k∈Z， 36第 29 页 共 172 页

2??，kπ?]，k∈Z． 36?k??k???，即函数的对称轴方程为x??，k∈Z， （Ⅱ）由2x??kπ得x?32626?????4??x?时，??2x≤π，?2x??当?， 1226336

??所以当2x??π,即x?时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（x）＝cosπ＝﹣1，

33即函数的单调递增区间为[kπ?当2x??3??6,即x???12时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（x）＝cos

?6?3． 2【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.

18.设函数f（x）＝x﹣x2+3lnx． （Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）证明：曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln【解析】 【分析】

（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），转化为证明g(x)?0,利用导数求得最大值即可证明结论.

【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣

33?；无极小值； （Ⅱ）见解析. 243?2x2?x?3??2x?3??x?1?2x??， ?xxx令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞323， 233）递增，在（，+∞）递减， 22339333故f（x）极大值＝f（）???3ln?3ln?；无极小值；

224224故f（x）在（0，

（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣2x+2＝﹣x2﹣x+2+3lnx，（x＞0），

?2x?3??x?1?， 3?2x2?x?32x2?x?3g′（x）＝﹣2x﹣1??????xxxx令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1， 故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

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故g（x）max＝g（1）＝﹣1﹣1+2+3ln1＝0，

故曲线y＝f（x）在直线y＝2x﹣2的下方(除点(1,0)外)．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.

19.已知函数f(x)?x2?ax?b,g(x)?ex(cx?d).若曲线y?f(x)和曲线

y?g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y?4x?2.

b,c,d的值; （Ⅰ）求a,（Ⅱ）若x??2时,f(x)?kg(x),求k取值范围.

2【答案】（I）a?4,b?2,c?2,d?2；（II）[1,e].

【解析】

试题分析：（1）先求导,根据题意f?0??2,g?0??2,由导数的几何意义可知

f'?0??4,g'?0??4,从而可求得a,b,c,d的值．（2） 由（1）知，f?x??x2?4x?2,g?x??2ex?x?1?,令F?x??kg?x??f?x?,即证x??2时

F?x??0．先将函数F?x??kg?x??f?x?求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,

根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．

试题解析：（1）由已知得f?0??2,g?0??2，f'?0??4,g'?0??4 而f'?x??2x?a,g'?x??ex?cx?d?c?，

?a?4,b?2,c?2,d?2（4分）

（2）由（1）知，f?x??x?4x?2,g?x??2e2x的?x?1?，

设函数F?x??kg?x??f?x??2kex?x?1??x2?4x?2,?x??2?，

F'?x??2kex?x?2??2x?4?2?x?2?kex?1．

由题设可得F?0??0，即k?1，

令F'?x??0得x1??lnk,x2??2, ．．（6分） ①若1?k?e2，则?2?x1?0，∴当x???2,x1?时，

??F'?x??0，当x??x1,???时，F'?x??0，即F（x）在x???2,x1?单调递减，在

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?x1,???单调递增，故F?x?在x?x1取最小值F?x1?，

而F?x1??2x1?2?x1?4x1?2??x1?x1?2??0．

2∴当x??2时，F?x??0，即f?x??kg?x?恒成立． ．（8分） ②若k?e2，则F'?x??2e2?x?2??ex?e2?，

∴当x??2时，F'?x??0，∴F?x?在??2,???单调递增，

而F??2??0，∴当x??2时，F?x??0，即f?x??kg?x?恒成立， ③若k?e2，则F??2???2ke?2?2??2e?2k?e2?0，

??∴当x??2时，f?x??kg?x?不可能恒成立． ．（10分）

2?1,e综上所述，k的取值范围为?（12分） ??．

考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】

??1,x?M20.对于集合M，定义函数fM?x???1,x?M.对于两个集合M，N，定义集合

?MVN?{x|fM?x??fN?x???1}.已知A?{2,4，6，8，10}，B?{1,2，4，8，16}．

(Ⅰ)写出fA?1?和fB?1?的值，并用列举法写出集合AVB；

(Ⅱ)用Card?M?表示有限集合M所含元素的个数，求Card?XVA??Card?XVB?的最小值；

(Ⅲ)有多少个集合对?P,Q?，满足P，Q?A?B，且?PVA?V?QVB??AVB？

【答案】(1)fA?1??1,fB?1???1,AΔB??1,6,10,16?，(2)4，（3）128 【解析】

试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C,X, ①a?C且a?X,则Card(C?X??a??Card?CΔX??1;②若a?C且a?X,则

??Card(CΔ?X??a???Card?CΔX??1.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出

Card?XΔA??Card?XΔB?的最小值．（Ⅲ）由P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）

=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．

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