高三数学模拟试卷10套精编(理科)含答案及解析

（1）若数列?an?为“跳级数列”，且a4?4，求a3、a101值；

（2）若数列?an?为“跳级数列”，则对于任意一个大于a1的质数p，在数列?an?中总有一项是p的倍数；

（3）若p为奇质数，则存在一个“跳级数列”?an?，使得数列?an?中每一项都不是p的倍数.

【答案】（1）a3?3，a101?101；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】

?（1）根据题中定义求出a2的值，再由a2?a3?a4以及a3?N可求出a3的值，求出

a64?64，a128?128，结合101??64,128?，以及a64?a65?L?a101?L?a127?a128可得出a101的值；

（2）根据“跳级数列”的定义得出an?1?an为正整数，并记

的?s?minan?1?ann?N?，可得出p?s，并记m??n?N?s?an?1?an?，则存在

k?L、利用a2n?an可得知a2km、a2km?1、a2km?2、a2km?3、k?N?使得2?pk?N，

????a2km?p?1除以p所得余数互不相同，a2由此可知a2m、

kkm?1a2km?p?1L、a2km?3、a2km?2、、

中必存在一项为p的倍数； （3）对于正整数n，设kn非负整数，且满足2kn?n?2kn?1，根据定义得出

k2n?kn?1，然后取数列an?np?2kn满足条件.

【详解】（1）由“跳级数列”的定义可得a2?1a4?2，且a2?a3?a4以及a3?N?，2?a3?3，

a64?2a32?4a16?8a8?16a4?64，a128?2a64?128，

??由题意可得a64?a65?L?a101?L?a127?a128，且an?Nn?N，因此，

?a101?101；

（2）数列?an?为“跳级数列”，?n?N?，an?1?an为正整数， 记s?minan?1?ann?N???，

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?可知s?N?，且p?s?a2?a1?a1，记m?n?Ns?an?1?an，

??对于质数p，必存在k，使得2?pk?Nk???，反复应用ak?12n?2an，

得a2k?m?1??a2km?2a2k?1?m?1??a2k?1m?L?2另一方面，因为对于满足2m?n?2所以对于所有2m?n?2kkkk???a?2m?1??a2m?2ks，

??m?1??1的任意n，均有an?1?an?s.

?m?1??1，都有an?1?an?s（利用迭加）.

这表明，数列a2km、a2km?1、a2km?2、a2km?3、L、a2k?m?1?是以s为公差的等差数列. 假设对于整数对?i,j??0?i?j?p?1?，均有a2km?j?a2km?i是质数p的整数倍，

0?j?i?p，即a2km?j?a2km?i??j?i?s必为p的整数倍，且0?s?a2?a1?a1?p同时成立，知这与p为质数矛盾.

由此可知，a2km、a2km?1、a2km?2、a2km?3、L、a2km?p?1除以p所得余数互不相同. （构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数； （3）对于正整数n，设kn为非负整数，且满足2kn?n?2kn?1， 则2kn?2?2n?2kn+1?2，即2kn?1?2n?2kn?2.

根据定义有2k2n?2n?2k2n?1，由kn?kn?1，且k2n?kn?1，

k令an?np?2n，则a2n?2np?2k2n?2np?2kn?1?2np?2kn?2an， ??则显然?an?为“跳级数列”，又p为奇质数，于是，2kn不为p的倍数，因此an也不为p的倍数.

【点睛】本题考查数列新定义“跳级数列”定义的应用，同时也考查了数的整除与余数等相关知识，解题的关键就是灵活利用“跳级数列”的定义并结合数列等相关知识进行推导，考查推理能力与解决问题的能力，属于难题.

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高三数学(理)试题

说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.

一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）

1.若集合A＝{x∈Z||x|＜3}，B＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（ ） A. {0，1，2} C. {﹣1，0，1，2，3} 4} 【答案】A 【解析】 【分析】

化简集合A,B后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合A?{?2,?1,0,1,2},B?{0,1,2,3}, 所以A?B?{0,1,2}, 故选：A

【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.

2.设命题P:?n?N,n2?2n，则?P为（ ） A. ?n?N,n2?2n C. ?n?N,n2?2n 【答案】C 【解析】

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题即本题的正确选项为C. 【此处有视频，请去附件查看】

3.已如函数f（x）?的否命题应该为?n?N,n≤2，

2nB. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，

B. ?n?N,n2?2n D. ?n?N,n2?2n

sinx，则f′（π）+f′（﹣π）＝（ ） x第 19 页 共 172 页

A. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 2

C. ?2? D. 0

利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入?和??计算可得. 【详解】因为f（x）?xcosx?sinxsinx,所以f?(x)?,

2xx所以f?(?)?f?(??)?故选:D

?cos??sin???cos(??)?sin(??)?????2?2?0. 22?(??)??【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin??cos?”是“cos2??0”的（ ） A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】

【详解】试题分析：因为

“sin??cos?”是“cos2??0”的充分不必要条件；故选A． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】

5.设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b 【答案】A 【解析】

，所以

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【详解】若ea?2a?2b?3b，必有ea?2a?eb?2b． 构造函数：f?x??e?2x，则f?a??f?b?，

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的