统计学第四章第三节

定均值时，x1,x2,x3,------xn,这n个数据中前n—1个数据都可以自由取值，而第n个数据受全部数据的平均值的制约，不能自由取值。第n个数据可以由公式∑xi求得。因此，方差的自由度是n—1。

也可以这样理解：从字面意义上看，自由度是指一组数据中，可以自由取值的个数。当样本数据的个数为n时，如果样本平均数确定后，只有n—1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值。例如，假如样本有3个数值， X1=2，X2=4，X3=9，则平均数=5。当平均数=5确定后，X1，X2，X3只有两个数据可以自由取值，其中必有一个不能自由取值。例如X1=6，X2=7，那么X3则必然取2，而不能取其他值。

另一种解释：即共有n个样本，有n个自由度。用样本方差估计总体方差，自由度本应为n，但总体均值也未知，用样本平均数去估计它，就用掉了了一个自由度，故，只剩下n—1个自由度。

（七）标准差系数

厂名 工人平均 标准差 标准差系数 劳动生产率（元） 甲 16000 600 3.75 乙 8000 400 5.00

（八）标准分数——每一个变量值相对位置的测度

1. 标准分数——变量值与其平均数的离差除以标准差后的值。又称z分数，或标准化值。

设标准分数为zi,则有zi=（离差/标准差）

z分数，zi可以被解释为xi偏离平均数，相当于标准差的个数。

如，z=2，表示变量值比平均数大2个标准差，如果等于-2，则表示变量值比平均数小2个标准差。

z分数大于0，是指那些数值大于平均数的观察值，z分数小于0，是指那些数值小于平均数的观察值，z分数等于0，是指那些数值等于平均数的观察值，

任何观察值的z分数都可以解释为该观察值在数据集中相对位置的测度。因此，如果位于两个不同数据集中的观察值的z分数相等，则可以说它们的相对位置相同，即偏离平均数的标准差的个数相同。

例如：已知下面样本的平均数为44，标准差是8。 班级的学生数xi 均值的离差 z分数

46 2 0.25 54 10 1.25

42 -2 -0.25 46 2 0.25 32 -12 -1.5 第5个观察值的z分数是-1.5，说明它是偏离平均数最远的一个样本，它比平均数低1.5个标准差。

（九）经验法则

经验法表明，当一组数据对称分布时：

约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内。 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内。 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。

例如，液体清洁剂纸板箱在生产线上可以被自动装满。填充的重量通常呈钟型分布。如果填充重量的平均值是16盎司，标准差是0.25盎司，利用经验公式：

大约68%的已填充纸板箱的重量在15.75-16.25之间 大约95%的已填充纸板箱的重量在15.50-16.50之间 大约99%的已填充纸板箱的重量在15.25-16.75之间

可以看到，一组数据中低于或高于平均数3倍标准差之外的数值是很少的，也就是说，在平均数加减3个标准差的范围内几乎包含了全部数据，而在3个标准差之外的数据，在统计上也称为异常值或离群点。

(十)切比雪夫不等式

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有（1-1/z.z）的数据落在z个标准差之内。

其中z是大于1的任意值，但不一定是整数。

z=2,至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内 z=3,至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内。 z=4，至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内

例如，

假设100个大学生数学课程的考试成绩的平均数是70分，标准差是5分。那么有多少学生的考试成绩在60——80之间？又有多少学生的考试成绩在58——82之间？

第二节 偏态与峰态的度量

偏度和峰度是从整个图形来刻画分布特征的。

一 偏态及其测度

（一）偏态

即 指数据分布的不对称性。 偏斜的程度测定——偏态系数

1．未分组资料的偏态系数公式

例如：某组工人生产产品日产量件数分别为48 49 50 51 52 计算偏态系数。

平均数=∑x/n=（48+49+50+51+52）/5=50 标准差=1.41 n=5

生产件数 离差 离差平方 离差立方 48 -2 4 -8 49 -1 1 -1

50 0 0 0 51 1 1 1 52 2 4 8 250 0 10 0

sk=5×0/(5-1)(5-2) 1.41 ×1.41×1.41=0 （ 正态分布 ）

例如：某组工人生产产品日产量件数分别为5 20 45 85 95 计算偏态系数。 平均数=∑x/n=50 标准差=35.2 n=5

生产件数 离差 离差平方 离差立方

5 -45 2025 -91125 20 -30 900 -27000 45 -5 25 -125 85 35 1225 42875 95 45 2025 91125 250 0 6200 15750 sk=5×15750 /(5-1)(5-2) ×35.2×35.2×35.2

=78750/523370.5=5.296=0.15 （有点正偏斜，右偏斜）

偏态系数测度了数据分布的非对称程度。如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数等于0；如果偏态系数明显不同于0，表明分布是非对称的。

2 分组资料的偏态系数 公式：

它是离差三次方的平均数再除以标准差的三次方。

当对称分布时，离差三次方后正负离差可以相互抵消，因此，sk是分子等于0，sk也就等于0。 当分布不对称时，正负离差不能相互抵消，就形成了正或副的偏态系数。当sk为正值时，表示正离差值较大，可以判断为正偏，或右偏。Sk为负值时，表示负离差数值较大，可以判断为负偏或左偏。

Sk值越大，表示偏斜的程度越大。 例如：资料如下，计算偏斜系数

月工资额（元）工人数（人） 工资总额（元）离差 离差平方 离差立方 离差立方乘次数

500 30 15000 -180 32400 600 50 30000 80 6400 700 70 49000 20 400 800 30 24000 120 14400

900 20 18000 220 48400

合计 200 136000 —— —— —— 平均数=13600/200=680（元） 标准差=

Sk=

从计算结果可以看出，偏态系数为

二 峰态及其测度

（一）峰态定义

即数据分布的平峰或尖峰程度。 （二）峰态的测度—峰态系数 1 未分组资料的峰态系数K 2 公式：

第四节

平均指标的应用原则

一、 社会经济现象的同质性

二、组平均数补充总平均数

三、 分配数列补充平均数