海门中学2014届高三4月检测数学试题

江苏省海门中学2014届4月检测

数学试卷 2014.4.10

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置． 1．设全集U?R，集合A??x|x?2?，B???1,0,1,2,3?，则?eUA??B? ． 2．已知复数z满足?1?i??z??i，则z的模为 ． 113．已知??2，则a? ．

log2alog3a甲

98 210

乙 8

4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中

一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．

29

337 ?9

第4题图 y25．若双曲线x??1的焦点到渐近线的距离为22，则实数k的值是 ．

k6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P?ABD和Q?CBD是两个高相等的正三棱锥， 四

点A,B,C,D在同一平面内．要使塔尖P,Q之间的距离为50m，则底边AB的长为 m．

P Q

D A C

I←2 S←0

While I＜m S←S+I I←I+3 End While Print S End

（第7题图）

B

第6题图

7．下面求2?5?8?11???2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为 ． 8．向量a?(cos10?,sin10?),b?(cos70?,sin70?)，a?2b= ．

9．对于函数y?f(x)，若存在区间[a,b]，当x?[a,b]时的值域为[ka,kb](k?0)，则称y?f(x)为k倍值函数．若f(x)?lnx?x是k倍值函数，则实数k的取值范围是 10．函数y?1?sinx(x?R)的最大值与最小值之和为 42x?x?1y2x211．已知半椭圆2?2?1?y?0,a?b?0?和半圆x2?y2?b2?y?0?组成的曲线C如图所

ab 1

示．曲线C交x轴于点A,B，交y轴于点G,H，点M是半圆上异于A,B的任意一点，当点

M位于点(

63,?)时，?AGM的面积最大，则半椭圆的方程为 ． 33y G D E A O ? B x A B

M H 第11题图

C 第12题图

12．已知|AB|?3，C是线段AB上异于A，B的一点，?ADC,?BCE均为等边三角形，则?CDE的外接圆的半径的最小值是 ．

?2x?y?0?22213．已知实数x、y满足?x?y?5?0，若不等式a(x?y)?(x?y)恒成立，则实数a

?y?4?0?的最小值是 ．

14．设等比数列?an?满足公比q?N*,an?N*，且?an?中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1?281，则q的所有可能取值的集合为 ．

二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

且sin(???)?5, 已知0????????, tan??1．

22213（1）求cos?的值；（2）证明：sin??5．

13

16．（本题满分14分）

如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE?平面CDE，

2

且

B

A

AB?2AE．

（1）求证：AB//平面CDE； （2）求证：平面ABCD?平面ADE；

17．（本小题满分14分）

C E

D

（第16题图）

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产?1,1?x?20?x?N*?,?品期间第x个月的利润函数f?x???1（单位：万元）．为了获得更多

?x,21?x?60?x?N*??10的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x个月的利润率为g?x??f?3?第x个月的利润，例如g?3??．

81?f?1??f?2?第x个月的资金总和（1）求g?10?；

（2）求第x个月的当月利润率；

（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

18．（本小题满分16分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆C：

abx2?y2?3x?3y?6?0过A,F2两点．

（1）求椭圆标准的方程；

2π

（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，

3

证明：点P在一定圆上；

（3）设椭圆的上顶点为Q，在满足条件（2）的情形下证明：PQ?PF1+PF2．

19．（本小题满分16分）

已知数列?an?的前n项和Sn满足：Sn?t?Sn?an?1?（t为常数，且t?0,t?1）．

3

（1）求?an?的通项公式；

2（2）设bn?an?Sn?an，若数列?bn?为等比数列，求t的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，设cn?4an?1，数列?cn?的前n项和为Tn，若不等式 12k?2n?7对任意的n?N*恒成立，求实数k的取值范围．

4?n?Tn

20．（本小题满分16分）

己知函数f(x)?(mx?n)e?x（m,n?R，e是自然对数的底）．

（1）若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?ey?3?0，试确定函数f(x)单调区间；

1（2）① 当n??1，m?R时，若对于任意x?[,2]，都有f(x)≥x恒成立，求实数m的最

2小值；

② 当m?n?1时，设函数g(x)?xf(x)?tf?(x)?e?x(t?R)，是否存在实数a,b,c?[0,1]，

使得g(a)?g(b)?g(c)?若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

数学试卷附加题

21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内做答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. B．（选修4－2：矩阵与变换）

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． （1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；

x2y2??1在M?1的作用下的新曲线的方程． （2）求逆矩阵M以及椭圆49?1

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