2018-2019学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷

所以所以

……（4分）

，……（6分）

（2）……（8分）

因为因为所以所以

，α∈（0，π），所以，β∈（0，π），所以

……（10分）

……（12分）

，

，

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，是基本知识的考查． 20．（12分）已知函数

（1）求该函数的最小正周期及对称中心； （2）求该函数在[0，π]上的单调增区间．

【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为y＝此求得最小正周期

．

（2）令

，求得x的范围，再由x∈[0，π]，进一

．令

，求得

，由

，所以对称中心为

步确定x的范围，即可求得函数在[0，π]上单增区间． 【

解

答

】

解

：（

1

）

∵

＝

＝

．…（4分）

． …（6分）

，所以对称中心为

，即

第13页（共16页）

＝

所以，该函数的最小正周期 令（2）令

，则

．…（8分）

．

当k＝0时，，解得．

当k＝1时，，解得，

所以，函数在[0，π]上单增区间是[]，．…（14分）

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求三角函数的单调区间，属于基础题． 21．（12分）已知函数（1）求实数m的值； （2）如果对任意x∈R，不等式数a的取值范围．

【分析】（1）由奇函数性质f（﹣x）＝﹣f（x），求得m；

（2）先判断f（x）的单调性，再由f（x）奇函数化简不等式

最后变量分离可求得实数a的取值范围．

【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），即即2m﹣2＝0，即m＝1． （2）

，

，

恒成立，求实

是定义在R上的奇函数，

任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝

＝，

因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函数f（x）在R上是增函数． 因为所以

因为f（x）在R上单调递增，所以

第14页（共16页）

，且f（x）是奇函数．

， ，

即

2

对任意x∈R都成立，

2

由于﹣cosx﹣4sinx+7＝（sinx﹣2）+2，其中﹣1≤sinx≤1， 所以（sinx﹣2）+2≥3，即最小值为3． 所以即由

，得， ，解得

． ．

，

2

故实数a的取值范围

【点评】本题主要考察函数的奇偶性与单调性知识点及三角函数求最值知识点，主要运用变量分离，整体代换的思想方法

22．（12分）已知二次函数f（x）＝ax+bx+c满足下列3个条件：①f（x）的图象过坐标原点；②对于任意x∈R都有（1）求函数f（x）的解析式；

（2）令g（x）＝f（x）+x|x﹣4m|﹣x+5x，（其中m为参数） ①求函数g（x）的单调区间；

②设m＞1，函数g（x）在区间（p，q）上既有最大值又有最小值，请写出实数p，q的取值范围．

（用m表示出p，q范围即可，不需要过程）

【分析】（1）先可求出c＝0免责根据对称轴可得b＝﹣a，再根据对于任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，即可求出a的值，可得函数的解析式，

（2）①g（x）＝x|x﹣4m|+4x，先去绝对值，化为分段函数，即可求出函数单调区间， ②根据函数的单调性即可求出．

【解答】解：（1）因为f（0）＝0，所以c＝0． 因为对于任意x∈R都有所以对称轴为分）

又因为f（x）≥x﹣1，所以ax﹣（a+1）x+1≥0对于任意x∈R都成立， 所以

，即

，所以a＝1，b＝﹣1．

第15页（共16页）

2

22

； ③对于任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，

，

，即b＝﹣a，所以f（x）＝ax﹣ax，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2

2

，即

2

所以f（x）＝x﹣x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）g（x）＝x|x﹣4m|+4x，

当x≥4m时，g（x）＝x+（4﹣4m）x＝[x﹣（2m﹣2）]﹣（2m﹣2）

若2m﹣2＞4m，即m＜﹣1，则g（x）在（4m，2m﹣2）上递减，在（2m﹣2，+∞）上递增，

若2m﹣2≤4m，即m≥﹣1，则g（x）在（4m，+∞）上递增，

当x＜4m时，g（x）＝﹣x+（4+4m）x＝﹣[x﹣（2m+2）]+（2m+2），

若2m+2＜4m，即m＞1，则g（x）在（﹣∞，2m+2）上递增，在（2m+2，4m）上递减， 若2m+2≥4m，即m≤1，则g（x）在（﹣∞，4m）上递增， 综上得：

当m＞1时，g（x）的增区间为（﹣∞，2m+2），（4m，+∞），减区间为（2m+2，4m）； 当m＜﹣1时，g（x）的增区间为（﹣∞，4m），（2m﹣2，+∞），减区间为（4m，2m﹣2）； 当﹣1≤m≤1时，g（x）的增区间为（﹣∞，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） （3）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

2

2

2

2

2

2

【点评】本题考查函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查函数的零点解析式的求法，二次函数的性质的应用，是中档题．

第16页（共16页）