(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习知能专练(十九)复数、计数原理、二项式定理

知能专练（十九） 复数、计数原理、二项式定理

一、选择题

1．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A．1－i C．3＋i

2

B．1＋3i D．3＋3i

解析：选B (1＋i)(2＋i)＝2＋i＋3i＝1＋3i.

2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A．i(1＋i) C．(1＋i)

2

22

B．i(1－i) D．i(1＋i)

2

解析：选C A项，i(1＋i)＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)＝2i,2i是纯虚数；

D项，i(1＋i)＝i＋i＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.

2

2

2

?1?104

3．(2017·云南模拟)在?x－?的二项展开式中，x的系数为( )

?

x?

A．－120 C．60

B．－60 D．120

?1?10?1?rr10－rrr10－2r解析：选A ?x－?的展开式的通项Tr＋1＝C10x·?－?＝(－1)C10x，令10－2r＝4，

?

x?

?x?

得r＝3，所以该二项展开式中x的系数为－C10＝－120.

4．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有( )

A．24种 C．16种

B．18种 D．10种

3

43

解析：选D 若甲景区在最后一个体验，则有A3种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有A2A2种方案．所以小李旅游的方案共有A3＋A2A2＝10(种)．

12

3

12

?1?62

5．(2017·全国卷Ⅰ)?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为( )

?

x?

A．15 C．30

B．20 D．35

?1?6rr62

解析：选C (1＋x)展开式的通项Tr＋1＝C6x，所以?1＋2?(1＋x)的展开式中x的系数为

x?

?

1×C6＋1×C6＝30.

6．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一

- 1 -

2

4

道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )

A．288种 C．72种

B．144种 D．36种

3

解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C4种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C4种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A3种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C4C4A3＝144(种)．

323

2

3

?1?523

7．(2017·长沙调研)?x－2y?的展开式中xy的系数是( )

?2?

A．－20 C．5

B．－5 D．20

?1?5?1?5－rr?1?5－rrrr5－rr解析：选A ?x－2y?展开式的通项Tr＋1＝C5?x?·(－2y)＝C5·??·(－2)·x·y，

?2??2??2??1?22333

令r＝3，得xy的系数为C5·??·(－2)＝－20.

?2?

8．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有( )

A．70种 C．840种

B．140种 D．420种

33

解析：选D 从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有C9A3种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C5＋C4)A3种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C9A3－(C4＋C5)A3＝420(种)．

9．(2017·合肥质检)已知(ax＋b)的展开式中x项的系数与x项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)的展开式中所有项系数之和为( )

A．－1 C．32

B．1 D．64

4

242

5

15

6

6

4

5

33

3

3

3

3

3

3

解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x项的系数为C6ab，x项的系数为C6ab，则由

?C6ab＝135，?题意可得?15

??C6ab＝－18，

6

242

解得a＋b＝±2，令x＝1，得(ax＋b)的展开式中所有项的系数之和

6

为(a＋b)＝64，故选D.

10．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)的展开式中xy的系数为( ) A．－80 C．40

B．－40 D．80

23

3

2

3

5

33

解析：选C 当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含xy的项，即C5(2x)(－y)，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含xy的项，即C5(2x)(－y)，所以xy的系数为C5×2－C5×2＝10×(8－4)＝40.

- 2 -

3

2

32

2

3

2

33

2

3

二、填空题

a＋i

11．(2018届高三·金丽衢十二校联考)设a∈R，若复数z＝(i为虚数单位)的实部和虚

1＋i

－

部相等，则a＝________，|z|＝________.

a＋i?a＋i??1－i?a＋11－a解析：依题意，得＝＝＋i.

1＋i222

则

a＋11－a2＝11－11，解得a＝0.∴z＝＋i，z＝－i. 22222112＋＝. 4422 2

－∴|z|＝答案：0

a?6?12．(2017·四川泸州模拟)在?x＋?(a>0)的展开式中常数项是60，则a的值为________，

?x?

各项的系数之和为________．

a?rrr3-2r3r?22

解析：Tr＋1＝C6(x)??＝aC6x，令3－＝0，解得r＝2，∴aC6＝60，a>0，解得a2?x?

r6－r32?62?6??＝2.在?x＋?中，令x＝1，得?x＋?＝729.所以展开式中各项的系数之和为729.

?x??x?

答案：2 729

13．(2017·河北唐山调研)在?2x－是________，第五项是________．

?

?

3

1?nx?

?的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项

?2x3－1?7r37－

解析：依题意有2＝128＝2，解得n＝7.因为??展开式的通项为Tr＋1＝C7(2x)

x??

n7

rr7－rr21－3.5r67－66?-1?rC，令21－3.5r＝0，解得r＝6，故常数项为(－1)2C7＝14，第五7x2＝(－1)2?－x?

47－4421－3.5×47

项是T5＝(－1)2Cx7

＝280x.

7

答案：14 280x

?2?62

14．(2017·河北张家口模拟)?x－?(x－2)的展开式中，常数项为________，x的系数为

?

x?

________．

?x－2?6展开式的通项公式为T＝Crx6－r?－2?r＝Cr(－2)rx6－2r.令6－2r＝2，解析：解得r＝2；??r＋16??6

?

x?

?x?

57

令6－2r＝1，解得r＝，舍去；令6－2r＝0，解得r＝3；令6－2r＝－1，解得r＝，舍去．∴22

?x－2?6(x－2)的展开式中，常数项为(－2)C3(－2)3＝320，x2的系数为(－2)C2×(－2)2＝－120.

?x?66??

- 3 -