太原理工大学11级硕士研究生数值分析期末考试题

太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题

11级（12/07/03）

一、基础题(40分)

(一)、单项选择(2×5=10分)

1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为( )。

(A) (B) (C) (D) 2、过 ， 、 ， 、 ， 的分段线性插值函数 为( )。 ， (A) (B) ， ， ， (C) (D) ， ， 3、用一般迭代格式 求Ax = b的解，则当( )时迭代收敛。 (A) A对称正定 (B) A对角占优 (C) M对角占优 (D) 4、设方程组Ax = b的系数矩阵 ，若用雅可比和高斯—赛德尔法求解，则下 列说法正确的是( )。 (A) 两者都收敛 (B) 两者都发散 (C) 前者收敛，后者发散 (D) 前者发散，后者收敛 5、QR方法是求实矩阵( )特征值的方法。 (A) 按模最大 (B) 按模最小 (C) 所有的 (D) 任意一个 (二)填空题(2×15=30分) 1、已知 ( k=0,1，…，n )是互异节点， 是对应节点的 Lagrange 插值基函数， 是一个首项系数为1的n+1次多项式，则： 拉格朗 ______________，日插值基函数在节点上的取值是______________。 2、设分段多项式

是以0，2，3为节点的三次样条

，

，

， ， 函数。则a =____________，b =____________， c =____________。

3、设 ，则 关于节点 ， ， 的二阶向前差分为_________。

1

太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题

4、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。

5、设 ，则a的取值范围为________A可分解为A = LLT，且当L满足________，

分解是唯一的。

6、设 是切比雪夫正交多项式系，则 的正交区间为________，它的权函数为______________。 7、给定方程组 代法收敛。 ， 为实数，则当 满足_________且 时，SOR迭

， 8、设常微分方程初值问题 ， 数值解法单步法的一个一般形式 ， ， ，n = 0 , 1 ,… , N-1，则该解法在节点 处的整体截断误差表示式是 ___________________，局部截断误差表示式是____________________。 二、简答题(10×3=30分) 1、对于积分 ，若取节点 ， ， ，试推导一个插值型求积公式，并求出其代数精度。 2、已知 的函数表： 0 0 1 1 3 2 (1)试求 在[0，4]上的Hermite 插值多项式 ，使其满足条件： ，k=0，1，2， (2)写出其余项 的表达式(导数型)。 3、用二步法 求解一阶常微分方程初值问题 ， ，问：如何选择 、 的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局

部截断误差主项。 三、计算题(15×2=30分)

2

太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题

1、(1)设 ， ， 是区间[-1，1]上权函数为 的最高项系数为1的正交多项式组，其中 ， ，求 。

(2)利用 ， ， 求函数 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。

2、已知求解方程组Ax = b的分量迭代格式： ，

， ， ， ； ， ， ， (1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。

(2)证明当A为严格对角占优矩阵， 时，该迭代格式收敛。

3