江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题(解析版)

【详解】由a?b?4?2x224a2a2?b22a22?b?2?4ba?2?2?(b?2)a?2?(2?b)?2，化简为：，即， b2设f?x??x?2，则f?x?在?0,2?上递增，因为a，b?(0，2)，所以2-b?(0，2)， 且

f?a??f?2?b?，所以a?2?b，即a?b?2.

故答案为：2

【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.

，则PB?PC的取值范13.已知菱形ABCD中，对角线AC＝3，BD＝1，P是AD边上的动点（包括端点）围为_______． 【答案】[,] 【解析】 【分析】

由AC⊥BD得，以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），0?x?13221.由APAD可得2?33?1??1332PB?PC???x,?y?x,?y?4x?4x?，根据二次函数的性质?y??x?0，代入?????222??242??可求取值范围.

【详解】由AC⊥BD得，以对角线BD，AC分别为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝3，BD＝1，

??13?3??1??3??1?,B??,0?,C?0,?∴A?0,?，D?,0?,?AD??, ????????2??2??2??2???22??3?1∵P是AD边上的动点，设P（x，y），0?x?，AP??x,y?， ???22????3?1?133?x,?y,PB???x,?y∵APAD,?y???x?0，∵PC???? ??22??242???1?∴PB?PC????x,?y??2???1333222?x,?y ???x?x?y?y?4x?4x???2222??113时，最小值为.当x＝0时，最大值为.

22213所以，PB?PC的取值范围为[,]

2213故答案为：[,]

22根据二次函数的性质可知，当x＝

【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.

222

14.在3?8ABC中，若cosA＋cosB＋cosC＜1，sinB＝22

，则(tanA﹣2)sin2C的最小值为_______． 2【答案】26?5 【解析】 【分析】 由sinB＝值即可.

【详解】在3?8ABC中，由sinB＝当B＝

3π4??3π3π2，得B＝或，按B＝或分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最

442441?3π22

，所以B＝或，得cosB＝，

422411??A，所以，cos2A＋cos2C＜，即cos2A＋cos2（?A）＜， 4422?1122化简得：sin2A?cosA?0，因为0?A?，所以sin2A＞0，即sin2A?cosA?0不成立.

2243?3???A，sin2C?sin(?2A)??cos2A 当B＝，则C＝424，则C＝

?sin2A?2cos2A1?3cos2A(tanA﹣2)sin2C＝?(?cos2A)＝?(?cos2A) 22cosAcosA2

?1?3cos2Acos2A?3cos22A?(?cos2A)＝＝

1+cos2A1+cos2A2?5(1?cos2A)?3(1?cos2A)2＝

1+cos2A＝

2?3(1?cos2A)?5

1+cos2A?22?3(1?cos2A)?5 1+cos2A?26?5当

226?3(1?cos2A)，即cos2A??1时取等号

1+cos2A3故答案为：26?5

【点睛】本题考查了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考查了均值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说．．．．．．．明，证明过程或演算步骤．）

15.已知函数f?x??2sin?x?（1）若0?x???????cosx． 3??2，求函数f?x?的值域；

（2）设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且f?A??3,b?2,c?3，求2cos?A?B?的值．

?3?57【答案】（1）?0,1?（2）． ?；

214??【解析】

试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角A??3，由余弦定理可求得边a，由正弦定理可求得sinB，利用两角差的余弦公式可得cos(A?B)．

试题解析：（1）f?x??sinx?3cosxcosx?sinxcosx?3cosx

2??133??3? ?sin2x?cos2x??sin?2x???2223?2?由0?x??2得，

?3?2x??3?4?3???，??sin?2x???1． 323???3???33?，即函数f?x?的值域为?0,1??1?∴0?sin?2x????．

23?22???（2）由f?A??sin?2A?又由0?A????????33sin2A?得?????0， ?3??3?22?2，∴

?3?2A??3?4???，∴2A???,A?． 3337，

在?ABC中，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA?7，得a?由正弦定理

abbsinA21?，得sinB?， ?sinAsinBa727， 712732157 ????272714∵b?a，∴B?A，∴cosB?∴cos?A?B??cosAcosB?sinAsinB?考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．

16.如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点． （1）求证：FG∥平面EBO； （2）求证：PA⊥BE．