专题09 三角函数-三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编附解析

【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.

1，则cos(???)=___________. 37【答案】?

9若sin??【解析】因为?和?关于y轴对称，所以????π?2kπ,k?Z，那么sin??sin??1，3cos???cos??2222（或cos???cos??）， 33222所以cos??????cos?cos??sin?sin???cos??sin??2sin??1??7. 9【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若?与?的终边关于y轴对称，则????π?2kπ,k?Z ，若?与?的终边关于x轴对称，则????2kπ,k?Z，若?与?的终边关于原点对称，则????π?2kπ,k?Z.

22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 【答案】?1 222【解析】因为sin??cos??1，cos??sin??0，所以?1?sin?????cos???1, 所以sin??11,cos??， 22111111??cos2???1?sin2???1???.224442

因此sin??????sin?cos??cos?sin??【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.

π123．【2017年高考江苏卷】若tan(??)?,则tan?? ▲ ．

46【答案】

7 5??1?1tan(??)?tan??77644??．故答案为． 【解析】tan??tan[(??)?]?441?tan(???)tan?1?155446【考点】两角和的正切公式

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；

②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．

（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 24．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)?sinx,x?R.

（1）已知??[0,2?),函数f(x??)是偶函数，求?的值； （2）求函数y?[f(x??2?)]?[f(x?)]2的值域． 124【答案】（1）??

33π3π,1?]． 或；（2）[1?2222【解析】（1）因为f(x??)?sin(x??)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x??)?sin(?x??)， 即sinxcos??cosxsin???sinxcos??cosxsin?， 故2sinxcos??0， 所以cos??0． 又??[0,2π)， 因此??

π3π或． 22?（2）y??f?π????π??π?π??2?2?x??fx??sinx??sinx???????????? 124124???????????22π?π???1?cos?2x??1?cos?2x???1?336?2??? ???1??cos2x?sin2x???222?22??1?3π??cos?2x??． 23??33,1?]． 22因此，函数的值域是[1?【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.

2225．【2017年高考浙江卷】已知函数f(x)?sinx?cosx?23sinxcosx(x?R)．

（1）求f(2?)的值． 3（2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（1）2；（2）f(x)的最小正周期是?；单调递增区间是[?k?,?62??k?],k?Z． 3【解析】（1）由sin得f(2?32?31312?1??(?)． ，cos??，f()?()2?(?)2?23?3232222322?)?2． 3?622（2）由cos2x?cosx?sinx与sin2x?2sinxcosx得f(x)??cos2x?3sin2x??2sin(2x?)．

所以f(x)的最小正周期是?．

??3??2k??2x???2k?,k?Z， 262?2?解得?k??x??k?,k?Z，

63?2?所以，f(x)的单调递增区间是[?k?,?k?],k?Z．

63由正弦函数的性质得

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y?Asin??x???的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即y?Asin??x???，然后利用三角函数y?Asinu的性质求解．

26．【2017年高考江苏卷】已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b，求x的值；

（2）记f(x)?a?b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 【答案】（1）x?5π5π；（2）x?0时，f?x?取到最大值3；x?时，f?x?取到最小值?23． 66?(cosx,sinx)，b?(3,?3)，a∥b， 【解析】（1）因为a 所以?3cosx?3sinx．

若cosx?0，则sinx?0，与sin2x?cos2x?1矛盾，故cosx?0． 于是tanx??3． 35π． 6π)． 6又x??0，π?，所以x?（2）f(x)?a?b?(cosx,sinx)?(3,?3)?3cosx?3sinx?23cos(x?因为x??0，π?，所以x?ππ7π?[,]， 666

从而?1?cos(x?于是，当x?π3． )?62ππ?，即x?0时，f?x?取到最大值3； 66π5π当x???，即x?时，f?x?取到最小值?23．

663427． 【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（?，-）．

55（1）求sin（α+π）的值； （2）若角β满足sin（α+β）=【答案】（1）

5，求cosβ的值． 1345616. ；（2）cos???或cos???56565344【解析】（1）由角?的终边过点P(?,?)得sin???，

5554所以sin(??π)??sin??.

5343（2）由角?的终边过点P(?,?)得cos???，

555512. 由sin(???)?得cos(???)??1313由??(???)??得cos??cos(???)cos??sin(???)sin?， 所以cos???5616. 或cos???6565【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.

求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin?，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;

（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos(???)的值，要注意该值的正负，然后根据??(???)??，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.

28．【2018年高考江苏卷】已知?,?为锐角，tan??（1）求cos2?的值； （2）求tan(???)的值． 【答案】（1）?54，cos(???)??．

5372；（2）?. 2511