2019-2020学年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ） A．{x|﹣1＜x＜3}

B．{x|﹣1＜x＜1}

C．{x|1＜x＜2}

D．{x|2＜x＜3}

2．（4分）命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ） A．?x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 C．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1

B．?x0?（0，+∞），lnx0＝x0﹣1 D．?x?（0，+∞），lnx＝x﹣1

3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y＝﹣x

B．y＝x﹣1

2

C．y＝cosx D．y＝x

1

2

4．（4分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为（ ） A．

41

B．

2

1

C． 4

→

→

3

D．1

5．（4分）已知菱形ABCD边长为1，∠BAD＝60°，则?????????=（ ） A．

21

B．?2

1

C．

√3 2

D．?2 √36．（4分）双曲线4x2﹣y2＝1的离心率为（ ） A．√5 B．

√5 2

C．√3 D．

√3 2

7．（4分）已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，满足S3﹣S1＝10，且a1，a2，a4成等比数列，则a3＝（ ） A．2

1

??B．6 C．5或6 D．12

8．（4分）在(???2)6的展开式中，常数项是（ ） A．﹣20

B．﹣15

C．15

D．30

9．（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与??????3100成正比．当v＝1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当v＝2m/s时，其耗氧量的单位数为（ ） A．1800

B．2700

C．7290

D．8100

??

10．（4分）在边长为2的等边三角形ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，满足DE

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∥BC且

????????

=??（λ∈（0，1）），将△ADE沿直线DE折到△A'DE的位置．在翻折过程中，

下列结论成立的是（ ）

A．在边A'E上存在点F，使得在翻折过程中，满足BF∥平面A'CD

1

2

B．存在??∈(0，)，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A'BC⊥平面BCDE C．若??=2，当二面角A'﹣DE﹣B为直二面角时，|??′??|=4 1

√10

2√39

D．在翻折过程中，四棱锥A'﹣BCDE体积的最大值记为f（λ），f（λ）的最大值为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．（5分）复数

11+??

的实部为 ．

12．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，如图就是一重卦．如

果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答）

13．（5分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sinA=sinC，则cosA＝ ．

14．（5分）我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足a2n﹣1＜a2n+1，所有的偶数项满足a2n＜a2n+2； ②任意相邻的两项a2n﹣1，a2n满足a2n﹣1＜a2n． 根据上面的信息完成下面的问题：

（i）数列1，2，3，4，5，6 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；

（ii）若an＝n+（﹣1）n，则数列{an} “有趣数列”（填“是”或者“不是”）．

??2

1

215．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝4，则△AOB的面积为 ． 16．（5分）定义域为R的函数f（x）同时满足以下两条性质： ①存在x0∈R，使得f（x0）≠0； ②对于任意x∈R，有f（x+1）＝2f（x）．

根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数．

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（ i）若f（x）是增函数，则f（x）＝ ； （ⅱ）若f（x）不是单调函数，则f（x）＝ ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）已知函数f（x）＝sinxcosx+√3??????2x． （Ⅰ）求??()的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中点为H． （Ⅰ）求证：AB⊥A1C；

（Ⅱ）求二面角A1﹣BC﹣A的余弦值；

（Ⅲ）在棱A1B1上是否存在点N，使得HN∥平面A1BC？若存在，求出存在，请说明理由．

??1????1??1??

2??

??3的值；若不

19．（13分）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境．我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境．垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%．

现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如表：

A小区

B小区

C小区

D小区

E小区

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废纸投放量（吨） 塑料品投放量（吨）

5 3.5

5.1 3.6

5.2 3.7

4.8 3.4

4.9 3.3

（Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；

（Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望． 20．（13分）已知椭圆C：

??2??2+

??2??2=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C

2

1

的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+√6=0相切． （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线x＝4于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值． 21．（14分）已知函数f（x）=??3?

1

3(??+1)2

??+ax． 2（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）对于任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤，求实数a的取值范围． 22．（13分）已知n∈N*，n≥2，给定n×n个整点（x，y），其中1≤x，y≤n，x，y∈N*． （Ⅰ）当n＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点（x1，y1），（x2，y2），求x1+x2的所有可能值；

（Ⅱ）从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，??≥2?1．

（ i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；

（ ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．

5??2

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