2017高考数学文二轮复习讲义：专题整合突破 专题八系列4选讲 第二讲 (选修4-5)不等式选讲

所以2a－1≥1，即a≥1为所求． 4．2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当x∈R时，

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a. 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.① 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解． 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是2，＋∞)．

5．2016·湖北七市联考]设函数f(x)＝|x－a|，a∈R. 1

(1)若a＝1，解不等式f(x)≥2(x＋1)；

(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A?－1,3]，求a的取值范围．

??1－x，x<1，

解 (1)由于a＝1，故f(x)＝?

?x－1，x≥1.?

111

当x<1时，由f(x)≥2(x＋1)，得1－x≥2(x＋1)，解得x≤3. 11

当x≥1时，由f(x)≥2(x＋1)，得x－1≥2(x＋1)，解得x≥3. 1??1

综上，不等式f(x)≥2(x＋1)的解集为?－∞，3?∪3，＋∞)．

??a－2，x≤a，??

(2)当a<2时，g(x)＝?2x－2－a，a

??2－a，x≥2，

g(x)的值域A＝a－2,2

－a]，

??a－2≥－1，

由A?－1,3]，得?解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；

?2－a≤3，?

a－2，x≤2，??

当a≥2时，g(x)＝?－2x＋2＋a，2

??2－a，x≥a，a－2]，

g(x)的值域A＝2－a，

??2－a≥－1，

由A?－1,3]，得?解得a≤3，又a≥2，

??a－2≤3，

故2≤a≤3.

综上，a的取值范围为1,3]．

5??

6．2016·西安交大附中六诊]设函数f(x)＝?x－2?＋|x－a|.

??1

(1)求证：当a＝－2时， 不等式ln f(x)>1成立；

(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值． 5??1??

解 (1)证明：由f(x)＝?x－2?＋?x＋2?

????

?

?15＝?3，－2≤x≤2，?2x－2，x>5?2

1－2x＋2，x<－2，

得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3>e. 所以ln f(x)>1成立．

5?5?????

(2)由绝对值的性质得f(x)＝?x－2?＋|x－a|≥??x－2?－?x－a??＝

??????5??

?a－?，

2??

?5??5?

所以f(x)最小值为?2－a?，从而?2－a?≥a，

????

5

解得a≤4， 5

因此a的最大值为4. 7.2016·太原测评]对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.

(1)求m的值；

(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.

解 (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，

|a＋b|＋|a－b|即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立， |a||a＋b|＋|a－b|所以M的最大值m是的最小值． |a|因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时， |a＋b|＋|a－b|

≥2成立，所以m＝2. |a|(2)|x－1|＋|x－2|≤2.

15

解法一：利用绝对值的意义得2≤x≤2.

解法二：当x<1时，原不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2， 11

解得x≥2，所以x的取值范围是2≤x<1； 当1≤x≤2时，原不等式化为(x－1)－(x－2)≤2， 得x的取值范围是1≤x≤2；

5

当x>2时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤2. 5

所以x的取值范围是2

综上所述，x的取值范围是2≤x≤2. 解法三：构造函数y＝|x－1|＋|x－2|－2， －2x＋1?x<1?，??

作出y＝?－1?1≤x≤2?，的图象如图所示，

??2x－5?x>2?