离散时间信号处理 期末复习习题精要及答案

1. 1判断下列信号是否是周期性的，并且对于每一个周期信号求其基本点周期。

x(n)?cos(0.125?n)

x(n)?Re{ejn?/12}?Im{ejn?/18}

x(n)?sin(??0.2n)

x(n)?ej?16cos(n?/17)

解：1、因为0.125???/8cos(期。

?8n)?cos(?8(n?16))，所以x(n)是以N?16为周

2、这里我们有两个周期信号之和：x(n)?cos(n?/12)?sin(n?/18)

其中第一个信号的周期N1?24，第二个信号的周期N2?36。因此，这个和的周期是：

N?N1N2(24)(36)(24)(36)???72

gcd(N1,N2)gcd(24,36)123、先须求得N值，使得sin(??0.2n)?sin(??0.2(n?N))，这个正弦函数是以2?为周期的，所以0.2N必须是2?的整数倍。但?是无理数，不存在整数N使这个等式成立，于是这个周期是非周期的。 4．这里有两个周期序列的乘积，

N?(32)(34)(32)(34)??544。

gcd(32,34)2N1?32N2?34所以基本周期是

1.2线性离散系统是通过一个时延单位采样?(n?k)的响应hk(n)来表征的。对于如下定义的线性系统，判断是否为稳定的、因果的

(a)hk(n)?(n?k)u(n?k)，(b)hk(n)??(2n?k)

解：（a）因为

k????|h(n)|??|n?k|??|k|??，所以这个系统是不稳定的。

kk???k?0?n?因为对于n

（b）注意到hk(n)最多有一个非零值，且这个非零值为1，因而对于所有n有

k????|h(n)|?1，于是这个系统是稳定的。

k?但这个系统不是因果的，因为如果x(n)??(n?2)，其响应是

y(n)?h2(n)??(2n?2)??(n?1)，这个系统产生一个在输入发生之前的响应，因此它是非因果的。

1.3判断下列系统的线性和非移变性：T[x(n)]?g(n)x(n)T[x(n)]?ax(n)?b 解1

T[x(n)]?g(n)x(n)T[x1(n)]?g1(n)x1(n)T[x2(n)]?g2(n)x2(n)T[x1(n)?x2(n)]?g(n)[x1(n)?x2(n)]

?T[x1(n)]?T[x2(n)]，所以系统为线性系统。

T[x(n?no)]?g(n)x(n?no)?g(n?no)x(n?no)，所以为移变系统。 2 T[x1(n)]?ax1(n)?b T[x2(n)]?ax2(n)?b

T[x1(n)?x2(n)]?a[x1(n)?x2(n)]?b

?T[x1(n)]?T[x2(n)]，所以为非线性系统

T[x(n?no)]?ax(n?no)?b?y(n?no)，所以为非移变系统。

1.4考虑其输出y(n)与输入x(n)的关系如下所示的一个系统

y(n)?k???判断这个系统是否为(a)线性的(b)移位不变的(c)稳定的?x(k)x(n?k)，

?(d)因果的

(a) 我们注意到x(n)??(n),则y(n)??(n)；如果x(n)?2?(n)，则

y(n)?4?(n)，所以系统是非线性的。

(b) 因为y(n?no)??k????x(k)x(n?n??o?k)，对于x1(n)?x(n?no)

y1(n)?k????x(k)x(n?k)??x(k?n)x(n?k?n)

11ook???所以y1(n)?y(n?no)，系统非移变。

（c）如果x(n)是单位阶跃，则y(0)是无界的，所以这个系统不稳定。

（d）因为y(0)等于当k取所有值时，x(k)的平方和，因此这个系统不稳定。

1. 5(1)已知激励为单位阶跃信号之零状态（阶跃响应）是g(n),试求冲激响应h(n)

(2) 已知冲激响应h(n),求阶跃响应g(n) 解：（1）因为?(n)?u(n)?u(n?1)

所以h(n)?g(n)?g(n?1) （2）g(n)?h(n)?u(n)?u(n)?h(n)??k????u(k)h(n?k)??h(n?k)

k?0??即g(n)??h(n?k)

k?01．6x(n)是系统的激励函数，h(n)是线性时不变系统的单位样值响应，求出y(n). 解

由

图

得

：

x(n)??(n)?2?(n?1)??(n?2)，，

h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)y(n)?x(n)?h(n)?[?(n)?2?(n?1)??(n?2)]?[?(n)??(n?1)??(n?2)]

??(n)?3?(n?1)?4?(n?2)?3?(n?3)??(n?4)

1． 7一个具有如下单位采样响应的线性衣位不变系统h(n)=u(-n-1),如果其输入

是x(n)??n3nu(?n)，求其输出。

解 因为对于n>-1,x(n)与h(n)等于零，所以对于n>-2,这个卷积等于零。直接计算卷积和，我们得y(n)?k????x(k)h(n?k)???k3u(?k)u(?(n?k)?1)

kk???k??因为对于k>0,u(-k)=0,对于k

变

k?n?1??k3,n??2

量

代

换

得

01?n?11?n1(?n?1)()?n()??n?11m333?3?3(2n?1)(1)?n,n??2 y(n)??m()?13443m?0(1?)231． 8两线性非移变系统级连，其单位样值响应分别为h1(n)??(n)??(n?4)，

h2(n)?anu(n),|a|?1，输入x(n)?u(n)，求系统输出y(n). 解

???：

w(n)?x(n)*h1(n)?m????x(m)h(n?m)??u(m)h(n?m)??u(m)[?(n?m)??(n?m?4)]11m?0m?0=u(n)-u(n-4)=?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)

y(n)?w(n)*h2(n)[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]*h2(n) ?h2(n)?h2(n?1)

?h2(n?2)?h2(n?3)

anu(n)?an?1u(n?1)?an?2u(n?2)?an?3u(n?3)

1. 9设x(n),y(n),w(n)为三个任意序列，证明:

x(n)*y(n)=y(n)*x(n) x(n)*[y(n)+w(n)]=x(n)*y(n)+ x(n)*w(n) 证：1. x(n)*y(n)?2

???k????x(k)y(n?k)n?k?m?x(n?m)y(m)?y(n)*x(n)

m?????x(n)*[y(n)?w(n)]?k????x(k)[y(n?k)?w(n?k)]??x(k)y(n?k)??x(k)w(n?k)?x(n)*yk???k???1.10解差分方程：y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0,y(-1)=2,y(-2)=1 解：特征方程：a2?3a?2?0a1??1,a2??2 齐次解：y(n)?c1(?1)n?c2(?2)n 将y(-1)=2,y(-2)=1代入得：c1?4,c2??12 所以：y(n)?4(?1)n?12(?2)n

1.11求下示差分方程的完全解：y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1) 其中激励函数x(n)?n2，且已知y(-1)=-1 解：求得其齐次解为c(?2)n，

将激励信号x(n)?n2代入方程右端，得到自由项为

n2?(n?1)2?2n?1。根据此函数的形式，选择具有D1n?D2形式的特解，以此作y(n)代入方程给出：

D1n?D2?2[D1(n?1)?D2]?n2?(n?1)2 3D1n?3D2?2D1?2n?1

21 比较方程两端系数得到：D1?,D2?

3921 完全解的表示式为y(n)?C(?2)n?n?

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