2020年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

(2)设??(??1,??1)，??(??2,??2) 联立{??2

2

??=????+??+

??26

=1

2????

，得(3+??2)??2+2??????+??2?6=0，

6??

??1+??2=?3+??2，??1+??2=??(??1+??2)+2??=3+??2，

△=(2????)2?4×(3+??2)(??2?6)=?12??2+24??2+72>0，即???2+2??2+6>0，①

若四边形OPRQ为平行四边形，则PQ的中点也是OR的中点， 所以R点的坐标为(?3+??2,3+??2)， 又点R在曲线E上得，

(?

2????2

)3+??22????6??

2

+

(

6??2

)3+??26

22

=1化简得2??=??+3②

66将②代入①得，??2>0，所以??≠0，由②得2??2≥3，所以??≥√或??≤?√

2

2

所以m的取值范围为(?∞,?√]∪[√,+∞)．

2

2

66

【解析】(1)根据题意得?????????????=

????+√2???√2?

??=

??2??2?2

=?3，(??≠0)，化简可得曲线E

的方程．

(2))设??(??1,??1)，??(??2,??2)，联立直线与曲线E的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理得??1+??2，??1+??2，△>0①，根据题意得PQ的中点也是OR的中点，得R点的坐标，再代入曲线E的方程，得2??2=??2+3②，将②代入①得m的取值范围． 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．

16900

20.【答案】解：(1)??2=100(20×45?10×25)=≈8.129>6.635， 30×70×45×552079

2

所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；

(2)(??)因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率??=100=

310

30

，

因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量??， 所以随机变量??的可能取值为3，4，5，6，

0

??(??=3)=??3(1??(??=4)=??3(

3073343

)()=

101010003172441

)()=

101010003271189

)()=

101010002

??(??=5)=??3(

3

??(??=6)=??3(10)3(10)0=1000，

3

7

27

从而??的分布列为： ?? P 3 1000 343 4 1000 441 5 1000 189 6 27 1000第13页，共16页

所以??(??)=3×1000+4×1000+5×1000+6×1000=3.9；

(????)记16人中借阅科技类图书的人数为X，则随机变量X满足二项分布??～??(16,10) 设借阅科技类图书最有可能的人数时??(??=0,1，2，……，16) ??(??=??)≥??(??=???1)则{， ??(??=??)≥??(??=??+1)

?????1????+1()??()16???≥??16()???1()17???，??16()??()16???≥??16()??+1()15???， 而??161010101010101010

3

7

3

7

3

7

3

7

3

34344118927

解得4.1≤??≤5.1， 故??=5，

所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人

【解析】(1)根据K的表达式带入计算即可判断；

(2)(??)由题知借阅科技类图书的概率??=10，若这3人增加的积分总和为随机变量??，分别计算出??(??=3)，??(??=4)，??(??=5)，??(??=6)，即可得到分布列及期望； (????)根据题意得随机变量X满足??～??(16,10)的二项分布，列出不等式组，解出即可 本题考查学生阅读理解的能力，考查概率与统计的应用，属于中档偏难题．

(1)证明：??(??)=???????????????+??，【答案】解：当??=1时，令??(??)=??(??)?(2???1)=21.

??????????????????+1，??∈(1,2)， 则??′(??)=????????????1=

1

1???????

33

?????????<0，∴??(??)在(1,2)上单调递减，

??

故??(??)

(2)解：由题知??′(??)=???????????+??，令??′(??)=0???+??=????????． ∵??(??)在(0,2??)上有且仅有1个极值点，

∴函数??=??+??(??>0)与函数??=????????，??∈(0,2)的图象只有一个交点， ∴2??+??

【解析】(1)构造函数??(??)=??(??)?(2???1)，对其求导研究其在??∈(1,2)单调性，即可证明结论；

(2)先对??(??)求导，然后把??(??)在(0,2??)上有且仅有1个极值点转化为??′(??)=???????????+??的零点问题，利用??=??+??(??>0)与函数??=????????，??∈(0,2)的图象只有一个交点求出a的取值范围即可．

本题主要考查导数在证明不等式及处理函数极值点中的应用，属于中档题．

??=cos??

22.【答案】解：(1)由{??=2+sin??(??为参数)，消去参数??，可得??2+(???2)2=1．∴曲线??1的直角坐标方程为??2+(???2)2=1；

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1

??

1??

1

1

1

1

??

1

1

由??2=1+3??????2??，得??2+3??2sin2??=4， 即??2+??2+3??2=4，即

??24

4

+??2=1． +??2=1；

∴曲线??2的直角坐标方程为

??24

(2)∵??为曲线??2上的动点，∴设??(2????????,????????)，

则P与圆的圆心的距离??=√4??????2??+(?????????1)2=√?3??????2???2????????+5． 要使|????|的最大值，则d最大，当????????=?3时，d有最大值为∴|????|的最大值为√??2?1=√

??=cos??

【解析】(1)由{??=2+sin??(??为参数)，消去参数??，可得曲线??1的直角坐标方程．由??2=

41+3??????2??

163

1

4√33

．

?1=

√39． 3

，得??2+3??2sin2??=4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线??2的

直角坐标方程；

(2)由P为曲线??2上的动点，设??(2????????,????????)，则P与圆的圆心的距离??=

√4??????2??+(?????????1)2=√?3??????2???2????????+5.利用二次函数求最值，再由勾股定理求|????|的最大值．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

23.【答案】解：(1)函数??(??)=|??+1|?|2???2|=|??+1|?|???1|?|???1| ≤|??+1???+1|?|1?1|=2，当??=1时，??(??)取得最大值2， 即??=2，

正实数a，b满足??+??=2，

由柯西不等式可得(2??2+??2)(+1)≥(√2???√+??)2，

22化为2??+??≥

42

2

(??+??)2

32

12=， 3

8

8

当??=2??=3时，2??2+??2取得最小值3；

(2)证明：因为??+??=2，a，??>0，要证????????≥????，即证????????+????????≥??????+??????， 即证(???1)??????≥(1???)??????， 即证(1???)ln(???1)≥0，

当01，所以ln(???1)>0， 由1???>0，可得(1???)ln(???1)>0； 当??=1时，(1???)ln(???1)=0；

当10，

2

2

2

2

2

2

2

2

第15页，共16页

综上所述，(1???)ln(???1)≥0成立，即????????≥????．

【解析】(1)由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得??(??)的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；

(2)应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证．

本题考查绝对值不等式的性质和应用，考查不等式的证明，注意应用柯西不等式和分析法证明，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．

2

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