2020年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

则??2??所在直线的斜率为???，直线??2??：??=???(?????)． 联立{

??=????

??

????

，解得??(,??????=???(?????)

??2????

??

).

??????

??2???? ??2???? =3?设??(??0,??0)，由?????????，得(?????,??)=3(??0???,??0)，

2

解得??(代入

??2??2??2+2??2????3????2??2??

,

3??

).

(??2+2??2)29??2??2?=1，得

1

?

??2??29??2??2=1，

整理得：??=2．

∴双曲线C的渐近线方程为??=±2??． 故选：A．

由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为??=????，求得直线??2??：??=???(?????).与已知渐近线方程联立求得P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理

即可求得双曲线C的渐近线方程．

本题考查双曲线的简单性质，考查向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题． 12.【答案】C

【解析】解：当??<0时，??(??)=??2???????????为(0,+∞)的增函数，??(??)无最小值，不符合题意；

当??=0时，??2???????????≥2??即为??2??≥0显然成立； 当??>0时，??(??)=??2???????????的导数为??′(??)=2??2?????，

由于??=2??2?????在(0,+∞)递增，设??′(??)=0的根为m，即有??=2????2??， 当0??时，??′(??)>0，??(??)递增， 可得??=??处??(??)取得极小值，且为最小值??2???????????， 由题意可得??2???????????≥2??，即2???????????≥2??，

化为??+2????????≤1，设??(??)=??+2????????，??′(??)=1+2(1+??????)， 当??=1时，??(1)=1，??>1时，??′(??)>0，??(??)递增， 可得??+2????????≤1的解为00时，求得??(??)的导数和极值点m、极值和最值，解不等式求得m的范围，结合??=2????2??，可得所求范围．

本题考查函数恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．

1

??

1

??

??

1

??

??

1

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13.【答案】?5

【解析】解：由题意可得，sin??=√5，cos??=√5， 所以??????2??=2????????????????=2×(?√5)×√5=?5． 故答案为：?5

由已知结合三角形函数的定义可求????????，????????，然后结合二倍角的正弦公式即可求解． 本题主要考查了三角函数的定义及二倍角公式的简单应用，属于基础试题． 14.【答案】5.95

【解析】解：由题意可知??=??=

?

2.5+3+4+4.5

4

?

1+2+3+4

4

4

124

?124

=2.5，

?

?

?

=3.5；线性回归方程是??=????+1.75，经过样本中心，所以3.5=2.5??+

1.75，

解得：??=0.7， 所以??=0.7??+1.75，

??=6时，??=0.7×6+1.75=5.95(百吨)． 预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨．

故答案为：5.95．

求出样本中心的坐标，代入回归直线方程，求出??，然后代入??=6，推出结合即可． 本题考查回归直线方程的简单性质，回归直线方程的应用，是基本知识的考查． 15.【答案】(?3,0)

【解析】【分析】

由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|????|的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线的方程，代入抛物线的方程求出A，B的坐标，由O为三角形ABC的垂心可得C在x轴上，设C的坐标，由????⊥????，可得数量积为0，求出C点的坐标．

本题考查抛物线的性质及三角形垂心的性质，属于中档题． 【解答】

??=????+1，解：显然直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：设??(??1,??1)，

??(??2,??2)，

??=????+1

??1+??2=4??，联立直线AB与抛物线的方程{2，整理可得??2?4?????4=0，

??=4??所以??1+??2=4??2+2，

由抛物线的性质可得|????|=??1+??2+2=4??2+4，

由题意可得4??2+4=4，所以??=0，即直线AB垂直于x轴，

所以可得??(1,2)，??(1,?2)，

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^

?

??

因为原点O是△??????的垂心，所以C在x轴上，设??(??,0)，可得????⊥????，即????? ?????????? ????=0 即(1,2)?(1???,?2)=0，整理可得：1????4=0，解得??=?3， 所以C的坐标为：(?3,0)， 故答案为：(?3,0)．

3 (或2) 16.【答案】4√321

【解析】解：如图， 在正四棱锥???????????中，由底面边长为2，侧棱长为2√2， 可得△??????为正三角形，取PC的中点G，得????⊥????，且????=√6．

设过AG与PC垂直的平面交PB于E，交PD于F，连接EF，

????⊥????，则????⊥????，可得????△??????≌????△??????，得????=

????，????=????，

在△??????与△??????中，由????=????，????=????，∠??????=∠??????，得????=????． ∴????⊥????．

在等腰三角形PBC中，由????=????=2√2，????=2，得cos∠??????=2×2√2×2√2=4， 则在????△??????中，得????=cos∠??????=同理????=

4√2

，则????//????，得到????3

12

12????

√2

34

8+8?43

=

4√23

．

=

4√2

． 34√23

∴??四边形????????=×????×????=×√6×则?????????????=×

3

131

4√3

×3

=

4√33

；

√2=

4√6

． 9

4√6

， 3

4√694√64√6?39

又?????????????=×2×2×√6=

∴平面??将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为故答案为：

4√31

；2(或2)． 3

=2．

1

由已知得△??????为正三角形，取PC的中点G，得????⊥????，且????=√6.然后证明????⊥????，且求得AG与EF的长度，可得截面四边形的面积；再求出四棱锥???????????的体积与原正四棱锥的体积，则平面??将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，考查计算能力，是中档题．

3√3√3??

， 17.【答案】解：(1)因为??=1，??=3，△??????的面积??=1????????????==244

??

∴??=3，

由余弦定理可得，??2=??2+??2?2????×cos3=1+9?2×1×3×2=7， ∴??=√7，

故△??????的周长4+√7， (2)由余弦定理可得，????????=

??2+??2???2

2????

??

1

=?14，

√7

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故????????=

3√21

， 14

cos(?????)=????????????????+????????????????=

1√7√33√212√7

×(?)+×=

2142147

(1)由已知结合三角形的面积公式可求c，【解析】然后结合余弦定理可求b，进而可求；

(2)由已知结合余弦定理及同角平方关系可分别求解cosC，sinC，然后结合差角余弦公式可求．

本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．

18.【答案】(1)证明：∵侧面????1??1??为菱形，∴??1??⊥????，

又????=????1，O为??1??的中点，∴??1??⊥????，

而????∩????=??，∴??1??⊥平面ABO，得??1??⊥????；

(2)解：∵点A在侧面????1??1??上的投影为点O，即????⊥平面????1??1??， 又由(1)知????⊥????1，

∴以O为坐标原点，分别以OB，????1，

OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠??????1=60°，????=????，

设????=2??，则??(√3??,0，0)，??1(?√3??,a，√3??)，??(0,0，√3??)，??(0,???,0)， ????? ???? =(0,??,√3??)． ????=(?√3??,0,√3??)，??????? ????1=(?√3??,??,0)，?????

??? =(??1,??1,??1)， 设平面??????1 的一个法向量为??

????? =?√3????1+√3????1=0??? ???????

由{，取??1=1，得????? =(1,√3,1)； ??? ???????? ??????1=?√3????1+????1=0? =(??2,??2,??2)， 设平面??????1的一个法向量为??? ???????? ??????1=?√3????2+????2=0由{，取??2=√3，得??? =(1,√3,?1)．

????? ? ?????=????2+√3????2=0??∴cos=

?? ???????? |???? |?|????? |

=

3√5×√5=．

5

3

由图可知，二面角???????1???为锐角， ∴二面角???????1???的余弦值为5．

【解析】(1)由侧面????1??1??为菱形，得??1??⊥????，再由????=????1，O为??1??的中点，得??1??⊥????，利用直线与平面垂直的判定可得??1??⊥平面ABO，从而得到??1??⊥????； (2)点A在侧面????1??1??上的投影为点O，即????⊥平面????1??1??，由(1)知????⊥????1，以O为坐标原点，分别以OB，????1，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面??????1 的一个法向量与平面??????1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角???????1???的余弦值．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

3

19.【答案】解：(1)?????????????=??+√2????√2=??2?2=?3，(??≠0)

化简得曲线E的方程：

??22

??????2

+

??26

=1.(??≠0)

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