四年级数学练习4（约数和倍数）(1)

四年级数学练习4——约数和倍数 班级（ ）姓名（ ）

【知识要点与基本方法】： 1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，也称为约数。 2、一个整数的约数中最小的约数是1，最大的约数是它的本身。 3、一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它的本身。

4、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。自然数a、b的最大公约数记作（a，b）。求几个整数的最大公约数，只要把它所有公有的质因数连乘，所得的积就是它们的最大公约数。

5、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数记作[a，b]。求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有的质因数和它们各自独有的数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

6、两个整数中，如果a是b的倍数，那么b就是这两个数的最大公因数，a就是这两个数的最小公倍数。如果这两个数互质，那么它们的最大公因数就是1，而它们乘积就是它们的最小公倍数。

7、要注意用短除法求两个数与求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别： 求n个数的最大公约数：

（1）必须每次都用n个数的公约数去除。

（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）。 （3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。 求n个数的最小公倍数：

（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，再用n－1个数的公约数去除，除到n－1个数没有除1以外的公约数后，再用n－2个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选。

（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止。

（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1：168共有几个约数？这些约数的总和是多少？

试一试：240共有几个约数？这些约数的总和是多少？

例3：有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？

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试一试：100以内有10个因数的最小的自然数是多少？它的所有因数的和是多少？

例4：求36与45的最大公约数和最小公倍数： （1）列举法：

36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 45的约数有：1、3、5、9、15、45； 所以（36、45）=9。

36的倍数有：36、72、108、144、180、…… 45的倍数有：45、90、135、180、225、…… 所以[36、45]=180。

（2）分解质因数法： 36=2×2×3×3， 45=3×3×5

所以（36、45）=3×3=9，

[36、45]=3×3×2×2×5=180。

（3）短除法：

3 36 45 3 12 15 4 5 ←除到两个数互质 所以（36、45）=3×3=9，

[36、45]=3×3×4×5=180。

试一试：求18和24的最大公约数和最小公倍数：

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（4）辗转相除法：

例如：求2231和3887的最大公约数。 解：（2231，3887）=23

1 2231 3887 1 1656 2231 1 575 1656 2 506 1150 3 69 506 7 69 483 0 23

试一试：求4811和1981的最大公约数。

例5：用短除法求下列每组数最大公约数和最小公倍数： 3和15 18和36 6和7 8和15

例6：求8、12、30的最大公约数和最小公倍数： 解答：用短除法：

用公约数2除………………… 2 8 12 30 所得三个商互质… 4 6 15 所以（8，12，30）=2。

下面求最小公倍数：

用公约数2除………………… 2 8 12 30 用4与6两数公约数2除4和6 2 4 6 15 用3与15两数公约数3除3和15 3 2 3 15 ←15照抄下来 所得三个商两两互质……………… 2 1 5 ←2照抄下来 所以，【8，12，30】=2×2×3×2×5=120

试一试：求36、108、126的最大公约数和最小公倍数：

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例7：将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少能剪成多少块？

例8：有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？

例9：大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他俩的起步和走的方向完全相同。小明的平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？

练习

1、10和12的最小公倍数是多少？ 6、8、12的最小公倍数是多少？

2、9和15的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？ 32和24的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？

3、50以内4和6的公倍数有多少？最小公倍数是多少？

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