构造法解竞赛题2

果在题目给定的系统里不易求解，倘若能找到一种对应关系“f”，把转化为另一个系统中的相应问题S'，借助于对应关系“f”或新的数学模型“S'”的性质，获得原来问题的解答，这就是数学解题的构造法．

用构造法解题，就是要建立对应关系“f”和“S”的映象“S'”．由此得到两条思路：一条是着重构造数学模型S'；另一条是着重建立对应关系“f”．下面分别就这两条思路进行讨论．

Ⅰ）构造数学模型

所谓数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都是数学模型；从狭义上来理解，它是把具体的实际问题的基本属性抽象出来，用数学语言模拟的一种数学结构．构造法所要构造的数学模型是指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的映像系统是具体、直观、典型的模式，其中也包括各种数学对象，例如：构造数(实数、复数等)、构造式(各种式、数学公式、不等式等)、构造函数、构造方程、构造几何图形、构造集合、构造变量、构造数列、构造运算、逆向构造等等．构造模型是一种创造性思维，但离不开对题目结构特点的深刻认识．下面我们通过几种按不同数学对象的构造法举例说明通过构造法解题训练学生发散思维，用以谋求最佳的解题途径，来达到思维的创新．

★ 构造函数模型

函数是贯穿中学数学的一条主线，学生对于函数的概念和性质也都非常熟悉．选择这种非常熟悉的内容来解决棘手问题，不仅训练了学生的解题能力，也增强了学生思维的灵活性、开拓性和创造性．通过构造函数模型，把原来问题转化为研究函数的性质（如单调性，奇偶性等），从而达到解题的目的，这往往要比常规的方法更容易找到证题途径，我们来看这样一个例子．

例1 证明：对于任何自然数n?3，在欧氏平面上存在一个n个点的集合，使得每一对点之间的距离是无理数，而且每三个点构成一个非退化的三角形有理面积（第28届IMO试题）．

分析 初看此题似乎无法下手，但是当找到函数y?x这个简单函数模型后，问题就迎刃而解了．

2证明 在y?x上取点P(i,i)(i?1,2,3,?,n) i22 当i?j时，PiPj?(i?j)2?(i2?j2)2?i?j1?(i?j)2．

若i,j?N，易证得PiPj为无理数．

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再取抛物线上三个不同的点Pi、j、k??1，2，?，n? i、Pj、Pk， 则△PiPjPk为非退化三角形．

显然△PiPjPk＝

11jj2为有理数． 21kk21ii2有些数学题似乎与函数毫不相干，如上例，但根据题目特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明．通过构造辅助函数解题是数学中常用的方法，即把原来问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题的目的．通过这样的知识转移，使学生的思维不再停留在原来知识表面上，有利于培养学生的创新意识．

★ 构造几何模型

如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，那么通过作图构造图形，将题设的条件及数量关系直接在中得到实现，然后在构造的图形中寻求所证的结论．构造解析几何模型：构造坐标系、点（中点、分点或定比分点）、单位圆、斜率、直线、线段、抛物线、平面区域、椭圆、两点间距离、点到直线距离；构造立体几何模型：构造辅助线、辅助平面、割补法、正方体、长方体、异面直线所成的角、三棱锥．

构造几何模型主要是用于数形转换，把“数”的问题转化为“形”的问题，利用图形直观的特性来解答问题．合理构造一个几何模型，通过数形结合，以“形”辅数，正确地做出图形或图像，找到一个出奇制胜的简捷的解题途径，达到事半功倍的效果．

2例2 已知正数a , b , c , A ,B ,C 满足条件a?A?b?B?c?C?k，求证aB?bC?cA?k（第20届全苏数学奥林匹克试题）．

分析 此题局限在代数不等式范畴不易求证．如将题目中的式子赋予“形”的解释，则可构造反映题目要求的几何模型（如图1所示）．构造法的难点在于合理构造一个图形，要解决这个难点就要“纵向深入”分析题设结构，“横向联k 系”联想几何模型．

证明 构造一个正方形，边长为 k 面积为k2a

B b aB A Ac c C ，分别bC B b 图 1

造出以 a , B , b , C 和 c , A 为长和宽的小矩形．由图中面

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积关系可得出aB?bC?cA?k2．

此题不仅可以构造正方形，也可构造三角形．构造三角形的解法就由读者自己证明． ★ 构造式

对于解决一些与二次根式有关的代数求值问题，它表面形式带有很大的隐蔽性，不容易抓住问题的实质，它的问题本质必须在另一种模式和研究范围内，才能充分体现，可由题目选择适当的解题方法．解这类问题关键在于构造相关的式子，构造式子有几种常见的思路，如构造基本对称式、构造有理值关系式、构造恒等式、构造平方和关系式、构造立方差关系式等等．

例3 设x?2?12?1，y?2?12?1，则x2?xy?y2? ．

（2000年湖北省初中数学竞赛题） 分析 由题目，已知可经构造完全平方式化简． 解 由已知得：x?3?22，y?3?22； 故有x?y?6，xy?1；

因此x2?xy?y2?(x?y)2?3xy?36?3?33．

以上我们仅以上述对不同数学对象的构造法举例说明通过构造数学模型解题．对没有讲述的数学对象的构造法可以继续深入探讨，在这里不再展开研究．构造数学模型的解题方法，重点是构造原来问题的映像模型．成功的构造，一靠对原来问题的深刻认识，二靠丰富的联想能力．至于原来问题与之间的对应关系，则需要用下面这种解题方法．

Ⅱ）构造对应关系

这种方法的重点是建立对应关系，利用对应关系的性质解题．建立对应关系，由其对应关系出发进行联想和构造．在更多的情况下是建立确定的函数关系式，然后利用函数性质来解题．

例4 设U,V是使(U?U???U)?10U?(V?V???V)?10V数，试比较U与V的大小．

分析 按题目本身的条件比较U与V的大小有困难，由题设提供的信息，可建立确定的函数关系式，利用函数性质解题．

28921011?8成立的实

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解 构造函数Fn(x)?(x?x???x

2n?1)?10x即

nx?xn(9?10x)Fn(x)?，

1?x显然F9(x)?F11(x)?9x9?x10?10x11?x9(9?10x)(1?x)， 不难验证Fn(x)具有以下性质：

① 当0?x?0.9时，Fn(x)?F11(x)?0； ② F9(0)?F11(0)?0，F9(0.9)?F11(0.9)?9；

③ 当x?0时，F9(x)与F11(x)是连续增函数，且非负； ④ 当x?0时，F9(x)与F11(x)都小于0 ．

由性质 ②、③、④ 及题设F9(U)?F11(V)?8，得U,V?(0,0.9)，

由性质 ① 得F11(U)?F9(U)?F11(V)，再由性质 ① 即可得U?V．

二、存在性问题的构造性解法构造存在实例或反例

所谓存在性问题，是指结论中含有或隐含“存在”一词的问题，是讨论某种数学对象是否存在，或某一数学对象是否具有某种性质的问题．这种问题的解法有构造性的和非构造性的两种．非构造性解法是利用排中律（如反证法）论证具有某种性质的数学对象存在，但并不提供其求法．构造性解法则与之不同，不但需要指出数学对象存在的实例或提供怎样求法，而且要证明它们满足题设条件，即“构造＋证明”．构造实例是构造一个符合条件与结论的例子；构造反例是根据反例本身的性质与特征，按一定的数学知识与技能进行构造．构造存在实例或反例在证明存在性问题时经常用到．

例5 设N??1,2,3,??，试证是否存在一个函数f：N→N，使得 （1）f(f(n))?f(n)?n； （2）f(1)?2；

（3）f(n?1)?f(n)． （第34届IMO试题）

分析 寻找存在实例，常从简单、特殊情形着手．首先考虑线性函数an（a?N），验算是否满足条件；若不满足则看二次以上（含二次）函数是否满足条件；若以上情况都不满足则还是在一次函数上动脑筋．

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